【積分】1/sinx(サインx分の1)を積分する方法2選

今回は三角関数の逆数(\(1/\sin x\))の積分です。
\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin x}dx\)を計算して下記の積分を求めていきます。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin x}dx=\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|$$

トムソン
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略しています。

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置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\sin x}dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

\(1/\sin x\)の積分1|\(cos x =t\)とおく

三角関数の相互関係より、\(\sin^2 x=1-\cos^2 x\)であるから、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{\sin x}&=&\displaystyle \frac{\sin x}{\sin^2 x}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\cdots(1) \\ \end{eqnarray}

と変形できる。
ここで\(\cos x = t\)とおくと、\(\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x\)より、

$$dt=-\sin x dx\cdots(2)$$

\((1),\ (2)\)より、下記の通り式を変形できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin x}dx &=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx \\\\
&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-t^2}dx\\\\
&=&\displaystyle\int-\displaystyle \frac{1}{1-t^2}dt
\end{eqnarray}


上記の式を部分分数分解して、積分できる形に変形します。

部分分数分解

\(\displaystyle \frac{1}{1-t^2}\)は分数関数の積なので、下記の通り部分分数分解する。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{1-t^2}&=& \displaystyle \frac{1}{(1+t)(1-t)} \\ \\
&=& \displaystyle \frac{A}{1+t}+\displaystyle \frac{B}{1-t} \end{eqnarray}

とすると、

\(\displaystyle \frac{A}{1+t}+\displaystyle \frac{B}{1-t} =\displaystyle \frac{A(1-t)+B(1+t)}{(1+t)(1-t)} \)

となる。
分母を比較すると\(1=A-At+B+Bt\)なので、次数比較することで下記の2式が得られる。

\(1=A+B\)

\(0=-A+B\)

連立方程式を解くと、\(A=\displaystyle \frac{1}{2},\ B=\displaystyle \frac{1}{2}\)なので、下記の通り部分分数分解できる。

$$\displaystyle \frac{1}{1-t^2}=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle \frac{1}{1+t}+\displaystyle \frac{1}{1-t}\right)$$


上記の計算を積分に利用する。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin x}dx &=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx \\\\
&=&\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-t^2}dx\\\\
&=&\displaystyle\int-\displaystyle \frac{1}{1-t^2}dt \\\\
&=&\displaystyle\int -\displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle \frac{1}{1+t}+\displaystyle \frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{2}\left( \log|1+t|-\log|1-t|\right)\\\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right|
\end{eqnarray}

\(1/\sin x\)の積分2

では\(\displaystyle \frac{1}{\sin x}\)の積分をしていきましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin x}dx &=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx \\ \\
&=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\cdots(1) \\\\
\end{eqnarray}

ここで、部分分数分解を(1)式に適用すると下記の式が得られる。

\begin{eqnarray}
&=& \displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} \\ \\
&=& \displaystyle \frac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\\\\
&=& \displaystyle \frac{A}{1+\cos x}+\displaystyle \frac{B}{1-\cos x}\end{eqnarray}

とすると、
\(A(1-\cos x)+B(1+\cos x)=\sin x\)となるため、

\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
    A + B = \sin x \\
    A \cos x – B \cos x = 0
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}

が得られる。
\(∴\ A=\displaystyle \frac{1}{2}\sin x,\ B=\displaystyle \frac{1}{2}\sin \)となる。

\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle\int\left( \displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}+\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos x}\right) dx\end{eqnarray}

\(1+ \cos x=s\)とすると、\(dx=-\sin x ds\)
\(1- \cos x=t\)とすると、\(dx=\sin x dt\)となる。

よって、下記のように変形できる。

\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle\int -\displaystyle \frac{1}{s}ds+\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{t}dt\\\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{2}\log|s| +\displaystyle \frac{1}{2}\log|t|\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{t}{s}\right|\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\log\left| \displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|
\end{eqnarray}


かなりややこしい計算でしたが、これで終わりです。
計算に必要な関連記事を紹介しておきますので、わからない計算があったら参考にしてみてください!

積分に必要な関連記事

三角関数の相互関係

$$ \displaystyle \frac{\sin x}{\sin^2 x}= \displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$$

の式変形に使用


部分分数分解

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}=\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle\int\left( \displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}+\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos x}\right)$$

の式変形に使用


\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{t}dt=\log|t|\)の積分


今回は以上です!

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