【積分】1/sin^2xを積分する方法2選|置換積分法と微分を使う

今回は\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx\)を積分していきます。
置換積分法を使ったテクニックと微分を使って、下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\displaystyle \frac{1}{\tan x}$$

トムソン
トムソン

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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)の積分|置換積分法

\(\tan x =t\)とおくと、\(\displaystyle \frac{dt}{dx}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より、
\(dx=dt\cdot \cos^2 x\)となる。
>>\(\tan x\)の微分はこちらで解説<<

三角関数の相互関係より\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)であるから
\(1+t^2=\displaystyle \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)となる。

つまり、\(dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\)である。

また、三角関数の公式と、\(1+t^2=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より下記の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\sin^2 x&=&1-\cos^2x\\
&=& 1-\displaystyle \frac{1}{1+t^2}\\
&=& \displaystyle \frac{1+t^2-1}{1+t^2}\\
&=& \displaystyle \frac{t^2}{1+t^2} \end{eqnarray}

以上を用いて、\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)を積分すると下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx &=&
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1+t^2}{t^2}\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\\
&=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{t^2}dt\\
&=& -\displaystyle \frac{1}{t} \\
&=&-\displaystyle \frac{1}{\tan x}\end{eqnarray}


計算のポイント

今回の積分のポイントは\(\tan x=t\)とおけるかどうかです。

この置換積分は知っていないとできない方法です。
三角関数の積分の問題が出たときは、\(\tan x=t\)の置換も可能性として考えておくと良いでしょう。

微分で証明する

最後に、今回の積分を微分を使って証明してみましょう。

\(\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)の微分は、商の微分公式より、

\begin{eqnarray}
(\displaystyle \frac{1}{\tan x})’ &=& \left( \displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\right)’ \\ \\
&=&\displaystyle \frac{(\cos x)’\sin x-\cos x(\sin x)’}{\sin^2 x}\\
&=&\displaystyle \frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\end{eqnarray}

と計算できます。

よって、

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\displaystyle \frac{1}{\tan x}$$

であると言えます。

今回は以上です!

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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