【積分】1/tan^2 x(cot^2 x)を積分する方法

今回は\(\cot^2 x=\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}\)を積分していきます!
具体的には下記の式を計算していきます。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x}dx = \log|\sin x|+C$$

(Cは積分定数)

では、実際に計算していきましょう!

トムソン
トムソン

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※読みやすさの関係上、これより積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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\(\cot^2 x\)を積分する

早速計算していきます。
積分の計算の後に、積分に使うテクニックや公式の解説をしていきますね。


三角関数の相互関係より、\(\cot x=\displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\)である。

また積分の公式より、(証明は後述

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|$$

が成り立つ。
ここで、\(f(x)=\sin x\)とすると、\(f'(x)=\cos x\)となるため、

$$\displaystyle\int \cot x dx=\displaystyle \frac{(\sin x)’}{\sin x}=\log|\sin x|$$


以上で積分は完了です。
最後に今回の積分に使った計算の解説を2つ紹介します。

紹介する2つの解説
  • \((\sin x)’=\cos x\)
  • \(\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\)

積分に使った公式2つ

\((\sin x)’=\cos x\)

この公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。

証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ!

>>\(\sin x\)の微分を証明<<

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\)

では公式を証明していきます。


\(f(x)=t\)とおくと、\(f’(x)dx=dt\)となる。
そのため、下記のように積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx &=& \displaystyle\int\displaystyle \frac{dt}{t}\\ \\
&=&\log |t|\\
&=& \log|f(x)| \end{eqnarray}


ちなみに、\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{dt}{t}=\log |t|\)の証明もしています。
正確には\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)ですが、よかったら参考にしてくださいね!

>>\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)の証明<<

今回は以上です!

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