【積分】1/tan xを不定積分する方法｜置換積分法と分数関数の公式から求める

今回は$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx$を積分していきます。
商の積分法の１つを使って下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx=\log |\sin x|$$

トムソン

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※読みやすさの関係上、積分定数の$C$は省略して解説します。

置換積分法とは
$\tan x$の積分｜置換積分法
分数関数の積分公式
$\tan x$の積分｜分数関数の公式

置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法｜不定積分
$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt$

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<

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それでは$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx$に置換積分法を適用して計算してみましょう。

$\tan x$の積分｜置換積分法

三角関数の相互関係より、$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}$である。

$\sin x=t$とおくと、$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x$より、$\cos x dx=dt$となる。
これを問題の式に代入すると、以下の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx &=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}dx \\
&=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{t}dt\\
&=& \log |t|\\
&=&\log |\sin x|
\end{eqnarray}

積分の計算には$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{x}dx=\log |x|$を利用している。
逆の計算である$(\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}$の解説記事を下記においておくので、参考にしてください！

>>$(\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}$の解説<<

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$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}$の積分を置換積分で計算する方法を紹介しました。
実は置換積分を使わなくても、計算できる公式があるので、最後にそちらを紹介します。

分数関数の積分公式

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$$

上記のように、分子が分母を微分した分数関数の場合、積分公式が使えます。
この積分公式は$\log |f(x)|$を微分すると簡単に解説できる公式です。

\(f(x)=t)\とすると、

\begin{eqnarray}
(\log |f(x)|)’ &=& (\log |t|)’ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{t}t’\\
&=&\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray}

と計算できます。

では、$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$の公式を$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}$の積分に応用してみましょう。

$\tan x$の積分｜分数関数の公式

先述したとおり、三角関数の相互関係より$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}$です。
また、$\sin x$の微分は$\cos x$です。

つまり$f(x)=\sin x$とおくと、$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}$は下記の式に直すことができます。

$$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$$

以上より、$\displaystyle \frac{1}{\tan x}$を積分は$\log|\sin x|$と計算できるのです。
分数関数の積分公式の再掲と途中式のまとめは下記の通りです。

分数関数の積分公式

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$$

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{\tan x}&=&\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\\
&=&\displaystyle \frac{(\sin x)’}{\sin x}\\
&=& \log |\sin x| \end{eqnarray}

今回は以上です！

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください！

>>【公式】三角関数の積分30選<<