【積分】1/tan xを不定積分する方法|置換積分法と分数関数の公式から求める

今回は\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx\)を積分していきます。
商の積分法の1つを使って下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx=\log |\sin x|$$

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

\(\tan x\)の積分|置換積分法

三角関数の相互関係より、\( \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\)である。

\(\sin x=t\)とおくと、\(\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x\)より、\(\cos x dx=dt\)となる。
これを問題の式に代入すると、以下の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\tan x} dx &=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}dx \\
&=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{t}dt\\
&=& \log |t|\\
&=&\log |\sin x|
\end{eqnarray}

積分の計算には\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{x}dx=\log |x|\)を利用している。
逆の計算である\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)の解説記事を下記においておくので、参考にしてください!

>>\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)の解説<<


\( \displaystyle \frac{1}{\tan x}\)の積分を置換積分で計算する方法を紹介しました。
実は置換積分を使わなくても、計算できる公式があるので、最後にそちらを紹介します。

分数関数の積分公式

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$$

上記のように、分子が分母を微分した分数関数の場合、積分公式が使えます。
この積分公式は\(\log |f(x)|\)を微分すると簡単に解説できる公式です。

\(f(x)=t)\とすると、

\begin{eqnarray}
(\log |f(x)|)’ &=& (\log |t|)’ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{t}t’\\
&=&\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray}

と計算できます。


では、\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|\)の公式を\( \displaystyle \frac{1}{\tan x}\)の積分に応用してみましょう。

\(\tan x\)の積分|分数関数の公式

先述したとおり、三角関数の相互関係より\( \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\)です。
また、\(\sin x\)の微分は\(\cos x\)です。

つまり\(f(x)=\sin x\)とおくと、\( \displaystyle \frac{1}{\tan x}\)は下記の式に直すことができます。

$$ \displaystyle \frac{1}{\tan x}=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$$

以上より、\(\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)を積分は\(\log|\sin x|\)と計算できるのです。
分数関数の積分公式の再掲と途中式のまとめは下記の通りです。

分数関数の積分公式

$$\displaystyle\int \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|$$

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{\tan x}&=&\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\\
&=&\displaystyle \frac{(\sin x)’}{\sin x}\\
&=& \log |\sin x| \end{eqnarray}

今回は以上です!

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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