今回は\(y=\tan^{-1} x\)(アークタンジェント)を積分して下記の式を証明していきます。
積分には部分積分法と置換積分法を使うので、計算の後に簡単に復習していきます。
$$\displaystyle\int \tan^{-1}xdx=x\tan^{-1}x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)$$
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。
\(\tan^{-1} x\)(arctan x)を積分する
積分には\(\tan^{-1} x\)の微分を使います。
\((\tan^{-1} x)’=\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\)です。
詳しい微分の解説は下記の記事を参考にしてください。
では計算していきましょう。
$$\displaystyle\int \tan^{-1} xdx$$
部分積分法より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\tan^{-1} xdx &=& \displaystyle\int 1\cdot\tan^{-1} xdx\\
&=& x \tan^{-1} x -\displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{1+x^2}dx\cdots(1)\\
\end{eqnarray}
と変形できる。
ここで\(1+x^2=t\)とおくと、
\(2xdx=dt\leftrightarrow dx=\displaystyle \frac{dt}{2x}\)となる。
(1)に\(t,\ dx\)を代入すると下記の式を得られる。
\begin{eqnarray}
&=& x \tan^{-1} x- \displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\left( \displaystyle \frac{dt}{2x}\right) \\ \\
&=& x \tan^{-1} x- \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{t}dt\\\\
&=& x \tan^{-1} x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(t)\\
&=&x \tan^{-1} x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)
\end{eqnarray}
積分の計算は以上になります。
ここから、積分に使った計算方法について簡単に解説していきます。
簡単な復習１｜逆三角関数とは
アークタンジェントは逆三角関数と言い下記の式の関係があります。
$$y=\tan^{-1} x \Leftrightarrow x=\tan y$$
同様にアークサイン、アークコサインもあります。
詳しい解説は下記の記事にありますので、グラフなども知りたい場合は参考にしてください。
>>逆三角関数の解説<<
簡単な復習２｜部分積分法とは
不定積分の部分積分法は下記の通りです。
不定積分の部分積分法
\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}
部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。
>部分積分法の解説<
簡単な復習３｜置換積分法とは
今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。
置換積分法｜不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)
置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。
>置換積分法の解説<
今回は以上です。
三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください！
>>【公式】三角関数の積分30選<<
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