arctan√xの微分｜アークタンジェントルートxを逆関数の微分法で微分する

今回は$y=\tan^{-1} \sqrt{x}$を微分していきます。
具体的には下記の式を計算していきます。

$$\left(\tan^{-1} \sqrt{x}\right)’= \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$

微分には逆関数の微分法を使います。
最初に微分の計算を紹介して、後半で逆関数の微分法やその他公式を解説していきます。

微分：$y=\tan^{-1} \sqrt{x}$

では早速微分していきます。

まずは逆関数の微分法からです。

逆関数の微分法で微分する

逆三角関数の性質より、

$$y=\tan^{-1} \sqrt{x}\Leftrightarrow \tan y =\sqrt{x}$$

逆関数の微分法より、
$\tan y=\sqrt{x}$の両辺を$x$で微分すると下記の計算ができる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}\tan y&=& \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x} \\ \\
\displaystyle \frac{d}{dy}\tan y\displaystyle \frac{dy}{dx}&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} \\\\
\displaystyle \frac{1}{\cos^2 y}\displaystyle \frac{dy}{dx}&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} \\\\
\displaystyle \frac{dy}{dx}&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x} }\cos^2 y\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\displaystyle \frac{1}{1+\tan^2 y}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\displaystyle \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\\
\end{eqnarray}

次は合成関数の微分法です。

合成関数の微分法で微分する

$y=\tan^{-1}\sqrt{x}$のとき$\sqrt{x}=t$とおく。

$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$である。

また$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}$であることを利用すると、合成関数の微分法より下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{dt}\displaystyle \frac{dt}{dx} \\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{1+t^2}\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} \\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\end{eqnarray}

微分は以上です。

使用した公式の解説

ここからは微分する際に使った、下記7つの微分法や計算について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

逆関数の微分法とは
合成関数の微分法とは
逆三角関数の計算
$\tan^{-1} x=\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$
$(\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$

解説１｜逆関数の微分法とは

下記の式変形が成り立つとき、

$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$

合成関数の微分法を用いて、$x=f(y)$の両辺を$x$微分すると

\begin{eqnarray}\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx} &=& \frac{d}{dx}x\\
f'(y)\frac{dy}{dx}&=&1 \\
\frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{ f'(y)}\\
g'(x)(=y’) &=& \frac{1}{ f'(y)}\end{eqnarray}

例えば$y=\sin^{-1} x \Leftrightarrow x=\sin y$なら、

$g(x)=\sin^{-1} x ,\ f(y)=\sin y$となります。

逆関数の微分法の証明や詳しい解説は下記の記事で紹介しています。
よかったら参考にしてください。

>>逆関数の微分法<<

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解説２｜合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、$f'(g(x))$を微分する方法です。
$g(x)=u$とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。

【例題】

$y=(4x^2+5x-3)^6$を微分せよ

【解答】

$4x^2+5x-3=u$とすると、$y=u^6$とおくことができる。

ここで、$\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5$である。
また、$\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5$である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。

今回のテーマである$\tan^{-1} \sqrt{x}$の微分だと、$u=\sqrt{x}$とおいて計算しています。
１度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説３｜逆三角関数とは

逆三角関数の定義は下記の通りです。

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\\
\cos^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle 0≦\theta≦ \pi \\
\tan^{-1} x &=& \theta\ ,\ − ∞≦x≦∞\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\
&=& 1 \end{eqnarray}

簡単に解説すると、角度を求める関数になります。

具体例としては、

$$y=\sin^{-1} x \Leftrightarrow x=\sin y$$

のように、$x$(値)から$y$(角度)を求める関数です。

定義にある$x$と$\theta$の範囲は三角関数の定義から決まっています。

逆三角関数のグラフや計算、定義の詳細は、下記の記事で詳しく解説しています。
こちらもよかったら参考にしてください。

※逆三角関数の参考記事

逆三角関数とは？θの求め方、グラフ、微分積分を解説

アークサイン(arcsin, sin-1)の基本と微分積分

アークコサイン(arccos, cos-1)の基本と微分積分

アークタンジェント(arctan, tan-1)の基本と微分積分

解説４｜$\tan^{-1} x=\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$

逆三角関数の微分は基本的に、逆関数の微分法で計算します。

$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

$y=\tan^{-1} x\Leftrightarrow x=\tan y$の関係があります。

ここで$f(y)=\tan y,\ f'(y)=(\tan y)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 y}$であるため、下記の通り微分できます。

\begin{eqnarray}
(\tan^{-1} x)’&=&\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 y}}\\\\
&=&\cos^2 y\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{1+\tan^2 y}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\end{eqnarray}

より詳しい微分の方法は下記の記事を参考にしてください。

>>$y=\tan^{-1} x$の微分<<

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解説５｜$(\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$

$(\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$の証明については下記の記事で紹介しているので、気になった方はご参照ください。

$\tan x$の微分は非常に重要なので、知っておいて損はありません。
微分する方法を2種類紹介しているので、参考になりますよ！

>>$(\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$の解説<<

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>>三角関数の絶対に覚えたい公式<<

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解説７｜$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\sqrt{x}$の微分は、$x^{ \frac{1}{2}}$とすると、$(x^n)’=nx^{n-1}$の公式を使って下記の通り微分できます。

$$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$(x^n)’=nx^{n-1}$の証明は下記の記事で紹介しています。

>>公式：$(x^n)’=nx^{n-1}$<<

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$\sqrt{x}$の微分をさらに詳しく解説した記事は下記になります。
よかったら参考にしてください！

>>$(\sqrt{x})’=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$の詳細な解説<<

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$arctan \sqrt{x}$の微分は以上です！

三角関数の微分クイズ！

□に入るのは？
$(\sin x)’=□$

$\cos x$

$-\sin x$

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