cot(コタンジェント)の微分方法2選|【解説と途中式あり】商の微分公式と逆数の微分公式

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cot(コタンジェント)とその微分

コタンジェントとは :\(\cot x=\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)
コタンジェントの微分:\((\cot x)’=-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)

今回は三角関数\(\tan x\)の逆数を意味する\(\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)の微分について考えていきます。

コタンジェントの微分は上に示す通りです。今回はその微分の証明を2つの方法でやろうと思います!

  1. 商の微分公式
  2. 逆数の微分公式

この2通りです。それではサクッと説明しちゃいますね。

※この微分の説明には\(\tan x\)の微分\(\sin^2 x +\cos^2 x=1\)の公式を理解しておく必要があります。

tan(タンジェント)を微分する方法2つ!【実は簡単】
\(\tan x\)の微分の式$$(\tan x)'=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$tan(タンジェント)を微分すると、\(\frac{1}{\cos^2 x}\)になる公式は割と有名です。しかし...
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商の微分公式でコタンジェントを微分する

商の微分公式とは

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

商の微分公式は上の式で表すことができます。商の微分公式の詳しい解説はリンクよりどうぞ!

参考:関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】

\(\cot x\)の微分

今回は素直に考えると\(f(x)=1,\ g(x)=\cot x\)となりますが、先に\(\cot x\)を変形します。

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}\ \left( \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}を利用 \right)$$

すると、\(f(x)=\cos x,\ g(x)=\sin x\)ですね。では、画像の順番通り計算していきましょう。

  1. \(g(x)=\sin x\)を2乗して\(\sin^2 x\)を分母にする。
  2. \(f'(x)=(\cos x)’=-\sin x\)と\(g(x)=\sin x\)を掛ける ⇨ \(-\sin^2 x\)
  3. \(g'(x)=(\sin x)’=\cos x\)と\(f(x)=\cos x\)を掛ける ⇨ \(\cos^2 x\)
  4. ②から③を引いて分子にする ⇨ \(-\sin^2 x-\cos^2 x=-1\)

以上より、\((\cot x)’=-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)

逆数の微分公式でコタンジェントを微分する

逆数の微分公式とは、

$$\left( \displaystyle \frac{1}{f(x)}\right)’=-\displaystyle \frac{f'(x)}{f^2(x)}$$

のように表すことができる公式です。

 

\(\cot x=\displaystyle \frac{1}{\tan x}\)ですので、逆数の微分公式に当てはめると、\(f(x)=\tan x\)と考えることができます。

つまり、

\begin{eqnarray} (\cot x)’&=& \left( \displaystyle \frac{1}{\tan x}\right)’\\
&=&-\displaystyle \frac{(\tan x)’}{\tan^2 x}\\
& &\left( \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}より、 \right)\\
&=&-\displaystyle \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}
\end{eqnarray}

上記の計算では\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)を利用しています。

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