【積分】log xを積分する方法|部分積分法を使うやり方【工学博士監修】

今回は\(\log x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の積分を解説していきます。

$$\displaystyle\int \log x dx=x \log x -x+C$$

トムソン
トムソン

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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int \log x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

log xの積分|部分積分法

\(f(x)=1,\ g(x)=\log x\)として、第2公式\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx = F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\)を用います。

\(F(x)=x,\ g'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\)を代入すると、下記の式の通り積分できます。

\begin{eqnarray} \displaystyle\int f(x)g(x)dx& =& F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\\ \\
\displaystyle\int 1\cdot\log x dx&=& x\log x-\displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{x} dx\\
&=& x\log x-\displaystyle\int dx\\
&=& x\log x-x\end{eqnarray}


\(\log x\)を単体で積分することができないので、部分積分法を使って積分しています。
また、途中式で\(\displaystyle\int 1 dx\)になる部分がありますが、\(1\)は省略することができるので、\(\displaystyle\int dx\)と表記しています。

最後に\(x\log x-x\)を微分すると、\(log x\)に戻るか確認しましょう。

log xの積分|微分による検算

積の微分より\((fg)’=f’g+fg’\)であり、\(x’=1,\ (\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)であるため、下記の式の通り微分できる。

\begin{eqnarray} (x\log x-x)’ &=& (1\cdot\logx +x\cdot\displaystyle \frac{1}{x})-1\\
&=& \logx +1-1\\
&=&\log x \end{eqnarray}

以上より、微分すると\(x\log x-x\)を微分すると\(log x\)が得られた。

今回は以上です!

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