【微分】三角関数と逆三角関数の微分を途中式有りで解説|sin, cos, tan|Sin-1, Cos−1, Tan-1【6種類を網羅】

この記事では、

  • 三角関数の微分と詳しい解説
  • 逆三角関数の微分と詳しい解説

を紹介します。

具体的には以下の6つの微分を解説する記事になります。

三角関数

\begin{eqnarray} y &=& \sin x
\\ y &=& \cos x
\\ y &=& \tan x\end{eqnarray}

逆三角関数

\begin{eqnarray} y &=& Sin ^{-1} x
\\ y &=& Cos ^{-1} x
\\ y &=& Tan ^{-1} x\end{eqnarray}

三角関数と逆三角関数は似ているように見えて、別物なので違いを理解してもらえると嬉しいです。

三角関数の微分

\(\sin x\)の微分

\(\sin x\)の微分$$(\sin x)’=\cos x$$

\(\sin x\)の微分が\(\cos x\)になる理由を説明しました。

なぜ、\(360^{\circ}\)法を使わずに弧度法を使っているのかも解説した記事になります。

弧度法で微分すると、$$(\sin x)’=\cos x$$になります。しかし、もし弧度法を使わずに\(\sin x\)を微分すると、$$(\sin x)’=\frac{\pi}{180}\cos x$$となってしまい、計算が複雑になります。

そういった解説をした記事が\(\sin x\)の微分記事になっております!

\(\cos x\)の微分

\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$

\(\cos x\)は微分すると\(-\sin x\)になります。\(\sin x\)は微分すると\(\cos x\)になるのに対して、\(-\sin x\)と負になる特徴があります。

そのまま覚えてしまうのも手ではありますが、この記事では、「なんでマイナスが付くのか」という点に着目して解説しております!

\(\tan x\)の微分

\(\tan x\)の微分の式

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

\(\tan x\)の微分は\(\sin x\)と\(\cos x\)の微分と比べると少し複雑な計算が必要になります。

理由は簡単で、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の関係があるため、\(\sin x\)と\(\cos x\)より難しいのです。

そのため、定義での微分に加えて、商の微分公式を使った微分も解説しています!

逆三角関数の微分

逆三角関数の微分では、合成関数の微分法と逆関数の微分法を使って、微分をしました。

2つの微分法を1度で理解するのは、少し難しいと思うので、逆三角関数の微分と一緒に理解してしまいましょう!

アークサイン\((Sin^{-1}x)\)の微分

\(Sin^{-1}x\)(アークサイン)の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

アークコサイン\((Cos^{-1}x)\)の微分

\(Cos^{-1}x\)(アークコサイン)の微分$$(Cos^{-1}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

アークタンジェント\((Tan^{-1}x)\)の微分

\(Tan^{-1}x\)(アークタンジェント)の微分$$(Tan^{-1}x)’=\frac{1}{1+x^2}$$

さいごに|三角関数と逆三角関数の微分

三角関数3つと逆三角関数3つの計6つの微分を見てきました。

三角関数だと微分の定義や加法定理で計算できたのに対して、逆三角関数は少しテクニック(微分法)を使う必要がありましたね。

しかし、この記事で全て理解できるようになっているので、心配ありません。

微分を忘れたらまた本記事に戻ってきてもらえればOKです!

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