【微分】商の微分公式（導関数）【使い方4ステップと証明】

関数の商の導関数（微分）$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

商の微分公式（導関数）についての解説をします。まずは使い方と微分の例を紹介して、そのあとに証明します。

もし、「$f(x)$や$g(x)$ってなに？」や「ちょっと苦手意識がある・・・」って方はこちらの記事から読んでみてください。関数をとても分かりやすく解説してます。（自信作です！笑）

商の微分公式を使いこなす4ステップ

商の導関数を使いこなすのはたった4ステップです！

ここではタンジェントの微分を使って解説していきます！

$\tan x$の微分の式

$$(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$

分母の$\cos x$を$\cos^2 x$にして分母にします。つまり、ステップ１の段階ではこうなります。

$$(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{(???)}{\cos^2 x}$$

分子を微分、つまり$\sin x$を微分して分母の$\cos x$と掛けます。

$$(\sin x)’=\cos x$$

なので、$\cos^2 x$となります。

ここでは、分母を微分するので$\cos x$を微分して$\sin x$に掛けます。

$$(\cos x)’=-\sin x$$

なので$-\sin^2 x$となります。

2で作った$\cos^2 x$から$-\sin^2 x$を引きます。つまり、

$$\cos^2 x-(-\sin^2 x)=\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

です。これを分子に持っていけば微分完了です！

１で作った$(\tan x)’=\frac{(???)}{\cos^2 x}$の???に4で作った答えを入れると・・・

$$(\tan x)’=\frac{(???)}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$$

となります。

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}$$

と置いて、$xが\Delta x$変化したとすると、$y$の変化量$\Delta y$は、

$$\Delta y=\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}$$

となります。

ここで$\Delta x\rightarrow0$のとき、$g(x+\Delta x)=g(x)$となります。なので、分母は$g(x)^2 $です。

そして、

\begin{eqnarray}f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}g'(x) = \frac{ dg }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ g(x + \Delta x) – g(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

なので、上の式を整理すると

関数の商の導関数（微分）$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

となるわけです！

ポイントをまとめましょう！

POINT関数の商の導関数を使うのは4ステップ！

証明は微分の定義を知ってれば簡単！

ってとこですかね！