【微分】sin 2x(サイン2x)を微分する方法|合成関数の微分法

今回は\(\sin 2x\)の微分を解説します。
具体的には下記の式を証明していきます。

$$(\sin 2x)’ = 2\cos 2x$$

合成関数の微分法を使って微分します。
まずは微分の証明をして、後半で合成関数の微分法やその他公式について解説しますよ!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
・詳細なプロフィールはこちら

スポンサーリンク

\(y=\cos 2x\)の微分

では微分していきましょう!


\(2x=u\)とおくと、\(y=\sin u\)となる。

また、
\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(\sin u)’=\cos u\)であり、
\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(2x)’=2\)である。

以上の計算と合成関数の微分法より、下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}
&=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx} \\ \\
&=& \cos u\cdot 2\\
&=&2\cos 2x \end{eqnarray}


微分は以上です。
ここからは微分する際に使った、下記2つの計算について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

  1. 微分|\((\sin x)’=\cos x\)
  2. 合成関数の微分法

解説1|\((\sin x)’=\cos x\)

$$(\sin x)’=\cos x$$

上記の微分公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。

証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ!

>>\(\sin x\)の微分を証明<<

解説2|合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。


【例題】

\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ

【解答】

\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。

ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。


今回のテーマである\(\cos 2x\)の微分だと、\(u=2x\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

\(\cos 2x\)の微分は以上です!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

タイトルとURLをコピーしました