tanx（タンジェント）を微分する方法2つ！【実は簡単】｜証明もあり

$\tan x$の微分の式

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

tan x（タンジェントエックス）を微分すると、$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$になる公式は割と有名です。しかし、実際に微分の証明となると、知識がないと少し難しいかなと思います。

そこで、この記事では

商の微分公式を用いる
定義通りに微分する

の2通りでtanの微分を証明します。

トムソン

微分には$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$の式を使います！分からない場合は【三角関数の関係公式】で解説しておりますのでご確認ください。

tan(タンジェント)の微分｜商の微分公式
tan(タンジェント)の微分｜微分の定義
tan（タンジェント）の微分｜まとめ

tan(タンジェント)の微分｜商の微分公式

では、タンジェントの微分を解説していきます！

商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

※詳しい解説-<関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】>

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。

式はややこしいですが、実はかなり簡単です。ナント4つの作業をこなすだけで終わりです！

分母を2乗して分母にする
分子を微分して分母と掛ける
分母を微分して分子と掛ける
②から③を引く

詳しい解説
≫関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】≪

では、これを$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$に当てはめましょう！

$$(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$なので、$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$微分完了です！

思ったより簡単だったのではないでしょうか。ただし、２つの公式を使っていますので、最後に確認しておきましょう。

$$1.\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$2.\ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

tan(タンジェント)の微分｜微分の定義

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

これに$\tan x$を当てはめます。

ここで、$\tan (x+\Delta x)$があるので加法定理で展開します！

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！«

あとはチャカチャカ計算していきます。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right) \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}=1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$