tanxの微分 (タンジェント)2つの方法|150秒の復習動画あり!

今回はtan微分です!

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

上記のタンジェントの微分を2つの方法で導出します。

  • 商の微分公式を用いる
  • 定義通りに微分する

の2通りです。
この記事を読めばtan微分を覚えなくても計算できるようになりますし、商の微分公式も使いこなせるようになります!

ぜひ最後まで読んでいってください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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tanxの微分|商の微分公式

では、商の微分公式を使って、タンジェントの微分を解説していきます!

商の微分公式

商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

※詳しい解説-<関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】>

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、4つの簡単な計算だけで微分できます!

  1. 分母を2乗して分母にする
  2. 分子を微分して分母と掛ける
  3. 分母を微分して分子と掛ける
  4. ②から③を引く

詳しい解説
関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】

では、これを\(\tan x\)に当てはめましょう!

tanxの微分

三角関数の相互関係より、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である。

\((\sin x)’=\cos x\)であり、
\((\cos x)’=-\sin x\)であるため、商の微分公式を使うと下記の式となる。

$$(\tan x)’=\left(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\displaystyle\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

三角関数の公式より、\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、\(\tan x\)を微分すると下記の式となる。

$$(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$$


思ったより簡単だったのではないでしょうか。
使用した4つの公式については、記事の最後に参考記事のリンクを貼っておきますので参考にしてください。

\(1.\ \tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\)

\(2.\ \left(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)

\(3. \ (\sin x)’=\cos x\)

\(4. \ (\cos x)’=-\sin x\)

tanxの微分|微分の定義

次に微分の定義通りに\(\tan x\)の微分をしていきます。
微分の定義は下記の式です。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

嫌になりますね・・・
ゆっくり計算するのでついてきてください。

まずは、定義式に当てはめます。

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

次に\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します!

$$\displaystyle\frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}$$

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!«

最後に、上記で作成した式を計算します。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x-\tan x+\tan ^2x \tan\Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\right)\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x\\&=&\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$

このように、途中式の量は多いですが、問題なく微分できました。

途中の\(\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)は、下記3つの計算より導出しています。
・\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)
・\(\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\cos \Delta x\rightarrow1\)
・\(\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\displaystyle \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)

tanの微分に使用した公式

微分は以上です。
ここからは微分する際に使った、下記2つの計算について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

  1. 微分|\((\sin x)’=\cos x\)
  2. 微分|\((\cos x)’=-\sin x\)
  3. \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
  4. \(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)

解説1|\((\sin x)’=\cos x\)

$$(\sin x)’=\cos x$$

上記の微分公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。

証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ!

>>\(\sin x\)の微分を証明<<

解説2|\((\cos x)’=-\sin x\)

\((\cos x)’=-\sin x\)の証明については下記の記事で紹介しているので、気になった方はご参照ください。
三角関数の基礎的な微分になります。
マイナスがつく理由も解説しており、覚えておいて損はありませんよ!

>>\((\cos x)’=-\sin x\)の解説<<

解説3|\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)

\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)は三角関数の絶対に覚えておきたい公式の1つです。

式を覚えるだけでもOKですが、証明や使い方、そのほかの絶対に覚えたい公式を下記の記事で解説しています。
こちらもよかったら参考にしてください!

>>三角関数の絶対に覚えたい公式<<

解説4|\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)

\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)は絶対に覚えておきたい公式の1つです。

公式の証明や使い方、そのほかの絶対に覚えたい公式を下記の記事で解説しています。
こちらもよかったら参考にしてください。

もちろん式を覚えるだけでもOKですよ!

>>三角関数の絶対に覚えたい公式<<

tanxに関係する微分一覧

tanに関連する微分の一覧です。
よかったらご活用ください。

1/tan xの微分

\((\cot x)’=-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)の解説

>>詳しい解説<<

tan2xの微分

\((\tan 2x)’=\displaystyle \frac{2}{\cos^2 2x}\)の解説

>>詳しい解説<<

tan^2 xの微分

\((\tan^2 x)’=\displaystyle \frac{2\sin x}{\cos^3 x}\) の解説

>>詳しい解説<<

tan 4xの微分

\((\tan 4x)’=\displaystyle \frac{4}{\cos^2 4x}\)

>>詳しい解説<<

参考動画

2分で復習できる動画も作成しましたので、ぜひ参考にしてみてください。

tan微分のまとめ

\(\tan x\)の微分について解説してきました。

  • 商の微分公式を用いる
  • 定義通りに微分する

上記2つの微分方法があります。
どちらを使っても覚えておく公式がいくつかありましたね。

使用した公式はどれも超重要公式なので、タンジェントの微分と一緒に覚えてしまいましょう!

また、最後に紹介した微分公式一覧も、覚えておくべき微分をピックアップしましたので、詳しい解説も併せて読んでみてください!

今回は以上です!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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