\(\tan x\)の微分の式
$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$
tan（タンジェント）を微分すると、\(\frac{1}{\cos^2 x}\)になる公式は割と有名です。しかし、実際に微分の計算となると、知識がないと少し難しいかなと思います。
そこで、この記事では
- 商の微分公式を用いる
- 定義通りに微分する
の2通りで\(\tan x\)を微分します。
微分には\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)の式を使います！分からない場合は【三角関数の関係公式】で解説しておりますのでご確認ください。
商の微分公式でtan xを微分する
商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
※詳しい解説-<関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】>
商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、実はかなり簡単です。ナント4つの作業をこなすだけで終わりです！
- 分母を2乗して分母にする
- 分子を微分して分母と掛ける
- 分母を微分して分子と掛ける
- ②から③を引く
詳しい解説
≫関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】≪
では、これを\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)に当てはめましょう！
$$(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$微分完了です！
思ったより簡単だったのではないでしょうか。ただし、２つの公式を使っていますので、最後に確認しておきましょう。
$$1.\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
$$2.\ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
定義通りにtan xを微分する
»«
これに\(\tan x\)を当てはめます。
ここで、\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します！
あとはチャカチャカ計算していきます。
$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right) \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}=1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$
さいごに
\(\tan x\)（タンジェント）の微分の計算自体はそこまで難しくありません。定義通りにやると少し厄介ですが・・・
商の導関数（微分）を使っても、三角関数などの式の変形を知っておかないとツマづいてしまいます。
おや？と思った変形があったら復習しておきましょう！
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