tanxの微分 (タンジェント)2つの方法｜150秒の復習動画あり！

今回はtan微分です！

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

上記のタンジェントの微分を2つの方法で導出します。

商の微分公式を用いる
定義通りに微分する

の2通りです。
この記事を読めばtan微分を覚えなくても計算できるようになりますし、商の微分公式も使いこなせるようになります！

ぜひ最後まで読んでいってください。

トムソン

九州大学工学博士で物理学者の僕が解説します！
一緒に学んでいきましょう👍
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解説する内容

tanxの微分｜商の微分公式
- 商の微分公式
- tanxの微分
tanxの微分｜微分の定義
tanの微分に使用した公式
tanxに関係する微分一覧
参考動画
tan微分のまとめ

tanxの微分｜商の微分公式

では、商の微分公式を使って、タンジェントの微分を解説していきます！

商の微分公式

商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

※詳しい解説-<関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】>

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、4つの簡単な計算だけで微分できます！

分母を2乗して分母にする
分子を微分して分母と掛ける
分母を微分して分子と掛ける
②から③を引く

詳しい解説
≫関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】≪

では、これを$\tan x$に当てはめましょう！

tanxの微分

三角関数の相互関係より、$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$である。

$(\sin x)’=\cos x$であり、
$(\cos x)’=-\sin x$であるため、商の微分公式を使うと下記の式となる。

$$(\tan x)’=\left(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\displaystyle\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

三角関数の公式より、$\sin^2 x+\cos^2 x=1$なので、$\tan x$を微分すると下記の式となる。

$$(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$$

思ったより簡単だったのではないでしょうか。
使用した4つの公式については、記事の最後に参考記事のリンクを貼っておきますので参考にしてください。

$1.\ \tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$

$2.\ \left(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$3. \ (\sin x)’=\cos x$

$4. \ (\cos x)’=-\sin x$

tanxの微分｜微分の定義

次に微分の定義通りに$\tan x$の微分をしていきます。
微分の定義は下記の式です。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

嫌になりますね・・・
ゆっくり計算するのでついてきてください。

まずは、定義式に当てはめます。

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

次に$\tan (x+\Delta x)$があるので加法定理で展開します！

$$\displaystyle\frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}$$

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！«

最後に、上記で作成した式を計算します。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right) \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x-\tan x+\tan ^2x \tan\Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\right)\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x\\&=&\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$

このように、途中式の量は多いですが、問題なく微分できました。

途中の$\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1$は、下記3つの計算より導出しています。
・$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$
・$\lim_{ \Delta x \to 0 } $のとき、$\cos \Delta x\rightarrow1$
・$\lim_{ \Delta x \to 0 } $のとき、$\displaystyle \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1$