tanxの微分 (タンジェント)2つの方法|150秒の復習動画あり!

今回はtan微分です!

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

上記のタンジェントの微分を2つの方法で導出します。

  • 商の微分公式を用いる
  • 定義通りに微分する

の2通りです。
この記事を読めばtan微分を覚えなくても計算できるようになりますし、商の微分公式も使いこなせるようになります!

ぜひ最後まで読んでいってください。

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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tanxの微分|商の微分公式

では、商の微分公式を使って、タンジェントの微分を解説していきます!

商の微分公式

商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

※詳しい解説-<関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】>

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、4つの簡単な計算だけで微分できます!

  1. 分母を2乗して分母にする
  2. 分子を微分して分母と掛ける
  3. 分母を微分して分子と掛ける
  4. ②から③を引く

詳しい解説
関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】

では、これを\(\tan x\)に当てはめましょう!

tanxの微分

三角関数の相互関係より、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である。

\((\sin x)’=\cos x\)であり、
\((\cos x)’=-\sin x\)であるため、商の微分公式を使うと下記の式となる。

$$(\tan x)’=\left(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\displaystyle\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

三角関数の公式より、\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、\(\tan x\)を微分すると下記の式となる。

$$(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$$

tanxの微分|微分の定義

次に微分の定義通りに\(\tan x\)の微分をしていきます。
微分の定義は下記の式です。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

嫌になりますね・・・
ゆっくり計算するのでついてきてください。

まずは、定義式に当てはめます。

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

次に\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します!

$$\displaystyle\frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}$$

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!«

最後に、上記で作成した式を計算します。

\begin{eqnarray} (\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x-\tan x+\tan ^2x \tan\Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\right)\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1なので\\ &=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\ &=& 1+\tan^2 x\\&=&\frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray}

このように、途中式の量は多いですが、問題なく微分できました。

途中の\(\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)は、下記3つの計算より導出しています。
・\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\cos \Delta x\rightarrow1\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\displaystyle \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)

三角関数の微積クイズ!

Q1

□に入るのは?
$(\sin x)’=□$

$\cos x$

$-\sin x$

参考動画

2分で復習できる動画も作成しましたので、ぜひ参考にしてみてください。

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