【積分】tan^2x(tan2乗x)を置換積分法で積分する【工学博士監修】

\(\displaystyle\int\tan^2 x dx\)を積分していきます。
三角関数の相互関係を使って下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x$$

\(\tan x\)を積分するのに、答えに\(\tan x\)が出てくるちょっと面白い積分ですよ。

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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三角関数の相互関係

まずは三角関数の相互関係について簡単に復習しておきましょう。

  1. \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
  2. \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
  3. \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)

今回は\(3\)番を使います。
\(1, 2\)でも計算できますが、\(3\)番を使う方がわかりやすいからです。

三角関数の相互関係を詳しく復習したい場合は、下記の記事をご参照ください!
>>三角関数の相互関係<<

\(\tan^2 x\)を積分する

三角関数の相互関係より、\(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)である。
変形すると下記の式を得られる。

$$\tan^2 θ=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}-1$$

つまり、\(\tan^2 x\)の積分は下記の計算に変形できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\tan^2 x dx &=& \displaystyle\int\left( \displaystyle \frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\end{eqnarray}

ここで、\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x\)である。
(詳しい計算手順は後述)

以上より、\(\tan^2 x\)の積分は下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\tan^2 x dx &=& \displaystyle\int\left( \displaystyle \frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\
&=& \displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx -\displaystyle\int dx\\
&=&\tan x-x
\end{eqnarray}


それでは、\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x\)の積分手順を見ていきましょう。

\(\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x\) の解説

\(\tan x=t\)とおくと、

\(dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\)、\(1+t^2=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)となるので、下記の通り積分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx &=&
\displaystyle\int 1+t^2\cdot \displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\\
&=& \displaystyle\int\displaystyle dt\\
&=& t \\
&=& \tan x
\end{eqnarray}

\(\tan x=t\)とおく理由など、より詳しい解説は下記の記事をご参照ください。
>>\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の積分<<

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

今回は以上です!

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