今回は\(\tan 2x\)を微分していきます。
具体的には下記の計算をしていきます。
$$(\tan 2x)’=\displaystyle \frac{2}{\cos^2 2x}$$
今回の微分には「合成関数の微分法」と「\(\tan x\)の微分」を使います。
最初に\(\tan 2x\)の微分を解説して、その後で上記2つの計算方法を解説します。
\(\tan 2x\)の微分
では微分していきます。
\(2x=u\)とすると、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(2x)’=2\)である。
また、\(y=\tan u\)となるため、\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{du}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\)である。
以上の計算と合成関数の微分法より、下記の通り微分できる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\cdot 2\\
&=&\displaystyle \frac{2}{\cos^2 2x}\end{eqnarray}
これで微分は完了です。
ここから\(\tan x\)の微分と合成関数の微分法について解説していきます。
解説1|\(\tan x\)の微分
\((tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)について解説した記事がこちらです。
>>\(\tan x\)の微分<<
簡単に解説すると、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の三角関数の相互関係の公式と、商の微分公式を使って微分しています。
商の微分公式
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
解説2|合成関数の微分法
合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。
合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。
$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$
言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。
合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。
【例題】
\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ
【解答】
\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。
ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。
以上より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}
と計算できる。
今回のテーマである\(\tan 2x\)の微分だと、\(2x=u\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。
\(\tan 2x\)の微分は以上です!
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tanに関連する微分の一覧です。
よかったらご活用ください。
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1/tan xの微分
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\((\tan^2 x)’=\displaystyle \frac{2\sin x}{\cos^3 x}\) の解説
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