【微分】tan 2xを微分する方法|合成関数の微分法

今回は\(\tan 2x\)を微分していきます。
具体的には下記の計算をしていきます。

$$(\tan 2x)’=\displaystyle \frac{2}{\cos^2 2x}$$

今回の微分には「合成関数の微分法」と「\(\tan x\)の微分」を使います。
最初に\(\tan 2x\)の微分を解説して、その後で上記2つの計算方法を解説します。

トムソン
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\(\tan 2x\)の微分

では微分していきます。


\(2x=u\)とすると、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(2x)’=2\)である。

また、\(y=\tan u\)となるため、\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より、

\(\displaystyle \frac{dy}{du}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\)である。

以上の計算と合成関数の微分法より、下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\cos^2 u}\cdot 2\\
&=&\displaystyle \frac{2}{\cos^2 2x}\end{eqnarray}


これで微分は完了です。
ここから\(\tan x\)の微分と合成関数の微分法について解説していきます。

解説1|\(\tan x\)の微分

\((tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)について解説した記事がこちらです。

>>\(\tan x\)の微分<<

簡単に解説すると、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の三角関数の相互関係の公式と、商の微分公式を使って微分しています。

商の微分公式

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

解説2|合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。


【例題】

\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ

【解答】

\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。

ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。


今回のテーマである\(\tan 2x\)の微分だと、\(2x=u\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

\(\tan 2x\)の微分は以上です!

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