【微分】tan^3 x (タンジェント3乗x)|合成関数の微分法

今回は\(\tan^3 x\)を微分します。
具体的には下記の式を証明します。

$$(\tan^3 x)’=\displaystyle \frac{3\tan^2 x}{\cos^2 x}=\displaystyle \frac{3\sin^2 x}{\cos^4 x}$$

\(\tan^3 x\)の微分は「合成関数の微分法」を使って微分します。

最初に微分の計算をして、後半で合成関数の微分法やその他公式を解説していきます。

トムソン
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\(\tan^3 x\)の微分

では微分していきます。

合成関数の微分法を使った微分

\(y=\tan^3 x\)で\(\tan x=u\)とおくと、\(y=u^2\)となる。

ここで、

$$\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^2,\ \displaystyle \frac{du}{dx}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$$

である。
以上より、合成関数の微分法を用いると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}
&=&\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\
&=& 3u^2\cdot \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\\\\
&=& \displaystyle \frac{3\tan^2 x}{\cos^2 x}\\\\
\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}& &より \\\\
&=& \displaystyle \frac{3\sin^2 x}{\cos^4 x}\end{eqnarray}


これで微分完了です。

ここからは微分の際に使った計算方法について下記の3点解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

  1. 合成関数の微分法
  2. 微分|\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)
  3. 公式|\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)

解説1|合成関数の微分法

合成関数の微分法は、簡単に言うと「関数全体と関数の中に分けて微分する方法」です。

合成関数の微分法は、\(f'(g(x))\)を微分する方法です。
\(g(x)=u\)とおいて、微分を下記の式のように変形します。

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}$$

言葉だと難しいので、具体的にみていきましょう。

合成関数の微分法の証明はこちらで解説してあります。


【例題】

\(y=(4x^2+5x-3)^6\)を微分せよ

【解答】

\(4x^2+5x-3=u\)とすると、\(y=u^6\)とおくことができる。

ここで、\(\displaystyle \frac{dy}{du}=(u^6)’=6u^5\)である。
また、\(\displaystyle \frac{du}{dx}=(4x^2+5x-3)’=8x+5\)である。

以上より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{du}\displaystyle \frac{du}{dx}\\\\
&=& 6u^5 \cdot (8x+5) \\
&=& 6(4x^2+5x-3)^5(8x+5) \end{eqnarray}

と計算できる。


今回のテーマである\(\tan^3 x\)の微分だと、\(u=\tan x\)とおいて計算しています。
1度で理解できなかったら、何度でも読み返しましょう。

解説2|\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)

\((\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の証明については下記の記事で紹介しています。
商の微分公式や定義を使った方法で\(\tan x\)の微分をしています。

>>\(\tan x)’=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の解説<<

解説3|\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)

\(tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の証明は下記の記事で紹介してます。
三角関数の相互関係を3種類紹介しているので、参考になりますよ!

>>\(tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)の解説<<

\(\tan^3 x\)の微分は以上です!

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