【積分】x^2 logx (xの2乗 log x)を部分積分法で積分する方法|工学博士監修

今回は\(x^2\log x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の積分を解説していきます。

$$\displaystyle\int x^2\log x dx=\displaystyle \frac{1}{9}x^3(3 \log x-1)$$

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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int x^2\log x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

\(x^2 \log x\)の積分|部分積分法

\(f(x)=x^2,\ g(x)=\log x\)として、第2公式

\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx = F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x) dx\)を用います。

\(F(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^3,\ g'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\)を代入すると、下記の式の通り積分できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx& =& F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\\ \\
\displaystyle\int x^2\log x dx&=& \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\log x
-\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\displaystyle \frac{1}{x}dx\\
&=& \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\log x
-\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{3}x^2dx\\
&=& \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\log x-\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \displaystyle\int\displaystyle x^2\\
&=& \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\log x-\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \displaystyle \frac{1}{3}x^3\\
&=&\displaystyle \frac{1}{3}x^3\cdot\log x-\displaystyle \frac{1}{9}x^3\\
&=&\displaystyle \frac{1}{9}x^3(3\log x-1)\end{eqnarray}


\(\log x\)は積分すると\(x\log x-x\)になるため、部分積分法で積分する関数にするのはオススメしません。
そもそも\(\log x\)を積分するには部分積分法が必要なので、計算がかなり煩雑になりますよ。
計算の方法は別記事に紹介しているので、気になる方は参考にしてください!

今回は以上です!

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