【積分】x cosxを部分積分法で積分するやり方【工学博士監修】

今回は\(x\cos x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の積分を解説していきます。

$$\displaystyle\int x\cos x dx=x \sin x+\cos x$$

トムソン
トムソン

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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int x\cos x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

log xの積分|部分積分法

\(f(x)=x,\ g(x)=\cos x\)として、第1公式\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx = f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\)を用います。

\(f'(x)=1,\ G(x)=\sin x\)を代入すると、下記の式の通り積分できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx& =& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x)dx\\ \\
\displaystyle\int x\cos x dx&=& x\sin x-\displaystyle\int 1\cdot\sin x dx\\
&=& x\sin x-\displaystyle\int \sin x dx\\
&=& x\sin x-(-\cos x)\\
&=&x\sin x+\cos x\end{eqnarray}


\(\cos x\)は積分しても次数が減らないため、\(f(x)=\cos x,\ g(x)=x\)として第1公式で計算すると、積分が永遠に終わらなくなってしまいます。
「終わらない!」と思ったら、\(f(x),\ g(x)\)を入れ替えて計算しましょう!

最後に\(x\sin x+\cos x\)を微分すると、\(x\cos x\)に戻るか確認しましょう。

x cosxの積分|微分による検算

積の微分より\((fg)’=f’g+fg’\)であり、\(x’=1,\ (\cos x)’=-\sin x\)であるため、下記の式の通り微分できる。

\begin{eqnarray} (x\sin x+\cos x)’ &=& (1\cdot\sin x + x\cos x)-\sin x\\
&=& \sin x+x\cos x-\sin x\\
&=&x\cos x\end{eqnarray}

以上より、微分すると\(x\sin x+\cos x\)を微分すると\(x\cos x\)が得られた。

今回は以上です!

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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