【微分】x^x(xのx乗)を微分する方法|対数微分法【博士監修】

今回はxのx乗(x^x)を微分していきます。
具体的には下記の式を証明します!

$$(x^x)’=x^x(\log x+1)$$

この微分には対数微分法を使用します。
記事の前半で微分を証明して、後半で対数微分法やそのほか使用した公式を解説します。

トムソン
トムソン

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微分|\(x^x\)(xのx乗)

それでは微分していきます!


対数微分法より、\(y=x^x\)の両辺の対数をとると下記の式が得られる。

$$\log y=x\log x\cdots(1)$$

\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x},\ (x\log x)’=\logx+1\)である。
(1)の両辺を\(x\)について微分すると下記のように微分できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx} \log y &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log x \\\\
\displaystyle \frac{d}{dy}\log y\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log x\\\\
\displaystyle \frac{1}{y}\displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\log x +1\\\\
\displaystyle \frac{dy}{dx}&=&y(\log x+1)\\\\
&=&x^x(\log x+1)\end{eqnarray}


以上で微分は終了です!

ここからは微分に使用した対数微分法とそのほか微分の公式について解説していきます。
(下記リンクをタップすると、該当箇所までジャンプします。)

  • 対数微分法とは
  • \((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)
  • \((x\log x)’=\log x+1\)

解説1|対数微分法とは

対数微分法とは、
両辺の対数を取ってから微分する方法のこと

対数微分法は、微分する関数で指数の肩に\(x\)が乗っているときは使えるイメージです。
下記が具体例になります。

$$x^x,\ a^x,\ (\sin x)^x,\ x^{ \frac{1}{x}}$$

対数微分法について詳しく知りたい方は下記の記事を参考にしてください!
>>対数微分法とは<<

解説2|\((\log x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)

\(\log x\)の微分は逆関数の微分法を使って下記のように微分します。

\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}

逆関数の微分法については下記の記事で詳細に解説しています。

>>逆関数の微分法<<

また\(\log x\)の微分は下記で詳細な解説をしていますので、よかったら参考にされてください!

>>\(\log x\)の微分<<

解説3|\((x\log x)’=\log x+1\)

\(x\log x\)の微分は関数の積の導関数の公式より、下記の通り微分できます。

\begin{eqnarray}
(x\log x)’ &=& (x)’\log x+x(\log x)’ \\
&=& 1\cdot \log x+x\cdot \displaystyle \frac{1}{x}\\
&=&\log x+1 \end{eqnarray}

微分のより詳しい解説は下記の記事を参考にしてください!

>>\(x\log x\)の微分<<

\(x^x\)の微分は以上です!

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