【二次方程式】が分からない人向け| 元塾講師による簡単な解説!

中学数学の難敵の1つに二次方程式があります。

なぜ難敵かと言うと、中学で習う「代数」の頂点に位置するからです。二次方程式を解くには、「正の数・負の数」、「分配法則」、「平方根」、「文字式」そして「方程式」といった数学の道具を使いこなせないと解けません。

そりゃ難敵になりますよね。

この記事は、そんな難敵である二次方程式を、ゼロから分かるように書いてあります。つまり、この1記事だけで「二次方程式」を解けるようになるのです。

もちろん親御さんが読まれても、理解できるように、そして、お子さんに解説できるように分かりやすく書きました。

本記事の構成です。

まずは、ゴールを設定します。この記事を最後まで読むとこの問題が解けるよ!っていうゴールです。

次からがゴールするための道具集めです。

  1. 分からないものを\(x\)と置く(方程式の考え方)
  2. 正の数・負の数
  3. 平方根(ルート)
  4. 分配法則

これらの道具を集めて、二次方程式の解き方を解説しますね。

そして最後に、どんな二次方程式でも解ける、二次方程式の解の公式というテクニックも紹介したいので最後まで読んでいただけると嬉しいです!

ゴールを設定しよう|二次方程式を解けるようになる

数学が苦手な人は「何をやっているか分からない!」と、なることが多いです。何の料理を作っているかも分からず、ひたすら人参切っても面白くないですよね。

ってことで、まずはゴールを設定します。この問題が解けたらクリアっていう問題を決めますね。

問題

$$3x^2+6x-6=0$$

を満たす\(x\)を求めよ。

では、ゴールも決まったことですし、ゴールするための道具集めから始めましょう!最初の道具は「分からないものをxと置く技」です。

\(x\)と置く|二次方程式を解く道具1

1つ目の道具は分からないものを\(x\)と置くです。

この\(x\)が出てきた途端に数学が苦手になる人が多いなあと印象を持ってます。なのでこの\(x\)に置くことを理解できた途端に数学が得意になる人も多いです。

では、簡単な例から。

例題A君はリンゴを3個B君にあげました。A君は今リンゴを5個持っています。A君が最初に持っていたリンゴは何個でしょう。

答えは\(8\)個です。

これは簡単ですね。今持っている5個のリンゴとB君にあげた3個のリンゴを足せば答えが出ます。

$$5+3=8$$

ではこの問題を\(x\)と置く技で解いてみるとどうなるでしょうか。

分からない数字を\(x\)と置きます。今回の場合、A君が最初に持っていたリンゴの数を\(x\)と置きます。そこから3個をB君にあげているので3個引くと、残りが5個となりました。

では、これを数式に変換してみましょう。

$$x-3=5$$

これを解くと\(x\)、つまりA君が最初に持っていたリンゴの数がわかります。

\begin{eqnarray} x-3 &=&5
\\ x-3+3&=& 5+3\\
x&=&8 \end{eqnarray}

\(x\)が難しいと感じる方へ

\(x\)があるせいで、イマイチ何を言っているか分からないと質問されることが良くあります。その場合は\(x\)を\(□\)に置き換えてみましょう!

\(□\)に入る数を求めよ。

$$□-3=5$$

\(□\)から\(3\)を引いた数が\(5\)になるので、\(□\)は\(8\)であるとわかります!

\(x\)を難しいと感じる場合は\(□\)でも\(◯\)でも何でもいいので、分からない数を置く!と覚えましょう。

では、もう1問考えていきましょう。

分からない数をまとめる|方程式

例題ある数を2倍して6を足したら12になりました。ある数とは何でしょう。

ある数が分かっていないので、ある数を\(x\)と置きます。そして\(x\)を\(2\)倍して\(6\)を足したら\(12\)になったそうです。式にしてみましょう。

\(x\)を\(2\)倍して\(6\)を足す \(\rightarrow\) \(x\times2+6\)

この数字が\(12\)ということなので、

$$2x+6=12$$

となります。

\(x\times 2は\rightarrow 2x\)と書きます。
\(2\times xも\rightarrow 2x\)と同じ様に書きます。
ただし、\(1\)は省略することができます。
\(1\times x=x\)の様な感じです。また、\(2x+x\)みたいに\(x\)の足し算や引き算では、これをくっつけることができます。
\(2x+x=3x\)といった具合です。

ある数\(x\)を求めていきましょう!

\begin{eqnarray} 2x+6 &=&12
\\ 2x+6-6&=&12-6\\
2x&=&6\\
x&=&3 \end{eqnarray}

ある数は\(3\)であると分かりましたね。

考えにくい場合は1度だけ\(2x\rightarrow◎\)と置いたら考えやすいかもしれません。

$$◎+6=12$$

この式であれば、「\(◎=6\)だ!」と分かりやすいと思います。

そして、もともとは\(◎=2x\)だったので、\(◎=2x=6\)となります。

よって\(2x=6\)なので、\(x\)に\(3\)を入れればいいな計算できるわけです。

では、次の道具、「負の数」をゲットしましょう!

負の数|二次方程式を解く道具2

では例題からいきましょう!

例題

$$2\ \times \ x+8=0$$

これを解くと負の数が登場します。では解いていきましょう!

\begin{eqnarray}
2x+8 &=& 0 \\
2x+8-8 &=& 0-8\\
2x&=&-8\\
x&=&-4\end{eqnarray}

例題の答えのように、数字の頭にマイナスが付いている数を負の数と呼びます。

負の数は現実に存在していません。リンゴが−1個とかはありえないですからね。

しかし、温度計の氷点下、例えば「\(-3^{\circ}\)」なんかは負の数がないと表現できません。負の数がないと表現できない数を表すために生まれたのが負の数です。

記号「−」には2つの意味があります。

  1. 引き算を表す
  2. 負の数の目印

2つの意味の違いを示すために、負の数を引く場合は\(\left( \right)\)の記号を使います。

$$3-\left( -5\right)=$$

と言った具合です。

ちなみに正の数の頭の「+」は省略するので、書かないことの方が多いです。

負の数の引き算

負の数が分かってきたと思いますので、負の数の引き算を考えていきましょう!

$$3-\left( −5\right)=3+5=8$$

このように負の数を引くと足し算に変化します。

例えば、リンゴを\(-5\)個あげる場合を考えます。\(-5\)個あげることはあり得ないのですが、数学的には「\(5\)個もらう」と解釈します。

\(+\)と\(-\)の関係を一覧表にしました。

\(+\)と\(-\)の一覧表

\begin{eqnarray}
(+)\ と\ (+)\ &\rightarrow& \ (+) \\
(+)\ と\ (-)\ &\rightarrow& \ (-)\\
(-)\ と\ (+)\ &\rightarrow& \ (-)\\
(-)\ と\ (-)\ &\rightarrow& \ (+)\\
\end{eqnarray}

\((-)\ と\ (-)\ \rightarrow \ (+)\)は違和感があるかもしれないけど、「まあ数学ってそういうもの!」と受け入れてしまうのも1つの方法ですよ。

負の数が分かったところで、負の数のかけ算も考えてみましょう!

二次方程式と負の数のかけ算

では例題から入りますね。

例題$$□\ \times\ □=9$$
□に入る数字は何?
トムくん
トムくん

んー、今度はかけ算になったか。でも簡単だね!
答えは\(3\)!

くりまろ
くりまろ

正解!かけ算なのに簡単に解いちゃったね。実はこれが二次方程式なんだよ。

トムくん
トムくん

え!?そうなの?文字が2つあるから?

くりまろ
くりまろ

いや、文字が2つかかっているから二次方程式なんだ。

POINT\(□+2□=3□\ \rightarrow\)一次方程式(結局文字は1つだから)
\(□\ \times\ □\ \rightarrow\)二次方程式(文字が2つだから)
くりまろ
くりまろ

ちなみに二次方程式には答えが2つあるよ。さっきの問題の答えも2つあるけど分かるかな?

トムくん
トムくん

え・・・

くりまろ
くりまろ

答えは\(-3\)だよ!だからさっきの答えは\(3と-3\)の2つだね。

トムくん
トムくん

あー、なるほどね。\(-3\ \times\ -3=9\)なのか
プラスとマイナスのかけ算ってややこしくて苦手なんだよね・・

くりまろ
くりまろ

プラスとマイナスのかけ算は4通りしかないから、チャチャっと理解しちゃおう!

POINT負の数のかけ算

$$\begin{eqnarray}
(+)\ \times\ (+)\ &=& \ (+)\\
(+)\ \times\ (-)\ &=& \ (-)\\
(-)\ \times\ (+)\ &=& \ (-)\\
(-)\ \times\ (-)\ &=& \ (+)
\end{eqnarray}$$

「なぜ、\((-)\ \times\ (-)\ = \ (+)\)になるのか」という質問をよく受けますが、ここでは一旦忘れましょう。

ひとまず、数学ってそういうもの!って思って先に進みましょう。これはもう数学の決まり事なので、深く考える前に先に進む方がオススメです。

負の数が分かったところで、少し難しい(と思われてるけど実は簡単な)平方根に移りましょう!

平方根(ルート)

じゃあこちらも例題から!

例題$$□\ \times\ □=5$$
□に入る数字は何?
トムくん
トムくん

5になるの!?
んー、2だと4になるし、3だと9だから、\(2.3\)くらいかな?笑

くりまろ
くりまろ

惜しいけど不正解だね。
\(2.1, 2.2, 2.3\dots\)って全部試しても答えは分からないよ!
答えはズバリ、\(2.2360679\dots\)!

トムくん
トムくん

分かる訳ないじゃん・・・

くりまろ
くりまろ

そう!それにこの答えは無限に続いていくから、無理数って呼ばれてるんだ。「こんな数ないよ!無理!」っていう数のことだよ。

トムくん
トムくん

じゃあどうしたらいいの?無理なんだよね?笑

くりまろ
くりまろ

うん。だから昔の偉い人はさっきの式の\(□\)に入れれる物はないかなあ。あっ!そういう記号作っちゃうか〜!って誕生したのが平方根\(\sqrt{\ }\)なんだよ。平方根は数字ってより記号と思った方が分かりやすいかもね!

例えばさっきの例題で考えてみましょう。

$$\sqrt{5}\ \times\ \sqrt{5}=5$$

と表せます。なので答えは\(\sqrt{5}, -\sqrt{5}\)になります。

トムくん
トムくん

じゃあ、\(□\ \times\ □=3\)なら答えは\(\sqrt{3}, \sqrt{-3}\)ってこと?

 

くりまろ
くりまろ

そうだよ!

トムくん
トムくん

めっちゃ簡単じゃん!

POINT平方根は同じ数を2つ掛けることで\(\sqrt{\ }\)の中身の数字になる記号みたいなもの。但し、記号だけど「ある数字」を表しているよ!

$$\begin{eqnarray}
\sqrt{1}&=&1 \\
\sqrt{2}&=&1.41421356\dots \\
\sqrt{3}&=&1.7320508\dots \\
\sqrt{4}&=&2\\
\sqrt{5}&=&2.2360679\dots
\end{eqnarray}$$

ちなみに・・・

\(1.41421356\times1.41421356=1.999999\dots\)
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)

なので、

\(\sqrt{2}=1.41421356\dots\)になるんです。

さあ、分からないものを\(x\)と置く技、負の数、平方根を理解できたので、最後の道具である分配法則を手に入れましょう!

分配法則

分配法則(1/2)

じゃあ例題から解いていきましょう!

例題$$2\ \times\ (3+1)$$

トムくん
トムくん

え〜これは簡単だよ。カッコの中から計算するんでしょ。

$$\begin{eqnarray} 2\ \times\ (3+1) &=& 2\ \times\ 4\\
&=& 8\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

正解!じゃあこれを分配法則で解いてみるね。

$$\begin{eqnarray} 2\ \times\ (3+1) &=& 6+2\\
&=& 8\end{eqnarray}$$

ってすることもできるんだ!

分配法則(1/2)$$a\ \times \ (b+c)=ab+ac$$

分配法則(2/2)

では分配法則の発展版を理解していきましょう!例題からです。

例題$$(3+2)\ \times\ (4+3)$$

トムくん
トムくん

答えは簡単に分かるけど、分配法則を使おうと思うと難しいな・・・

$$(3+2)\ \times\ (4+3)=5\ \times \ 7=35$$

くりまろ
くりまろ

正解!じゃあ分配法則で解いてみよう!

$$\begin{eqnarray}
&\ &(3+2)\ \times\ (4+3)\\
&=&(3+2)\times4\ +\ (3+2)\times3\\
&=&12+8+9+6\\
&=& 35\end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

え!?普通に解いたほうが簡単じゃん!

くりまろ
くりまろ

こういう数字がわかってる場合はそうだね。だけど、分からない数\(x\)が入っていると、分配法則を使わないといけなくなるんだよ。

例題$$(x+3)\ \times\ (x+1)=0$$

トムくん
トムくん

おー、ほんとだ。分配法則がないと\(x\)が分からないね・・・

くりまろ
くりまろ

分配法則を使って解いてみよう!

$$\begin{eqnarray} (x+3)\ \times\ (x+1)&=& 0\\
x^2+x+3x+3&=&0 \\
x^2+4x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

式は整理できたけど\(x^2\)が出てきちゃったから、\(x\)が何か分からないよ・・・

そうだね!実はこれが二次方程式なんだ!ここから二次方程式の解き方を理解していこう!

分配法則(2/2)$$(a+b)\ \times\ (c+d)=\\(ac+ad)+(bc+bd)$$

今まで手に入れた道具は

  • 分からないものを\(x\)と置く
  • 負の数
  • 平方根(ルート)
  • 分配法則

です。これらをフル活用して二次方程式を理解しましょう!

二次方程式を解く

二次方程式(1/3)

さっき出てきた式を使って、二次方程式を解いていきましょう!

例題$$x^2+4x+3=0$$

この式を解きます。

まずは、\((x+□)^2\)の形を作ることを意識します!ってことで\(+3\)は無視します!(一旦!)

トムくん
トムくん

忘れていいの?笑

くりまろ
くりまろ

後からしっかり登場するから大丈夫だよ!
\(x^2+4x\)だけ考えよう!

この\(4x\)に注目します。この\(4\)を半分にして\((x+□)^2\)の\(□\)に突っ込みます!つまり\(4\)の半分の\(2\)を入れます。

そしたらどうなるでしょうか。考えてみましょう。

$$\begin{eqnarray} (x+2)^2 &=& (x+2)\ \times \ (x+2)\\
&=&x^2+2x+2x+4 \\
&=& x^2+4x+4 \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

あれ?\(x^2+4x\)だったのに\(x^2+2x+2x+4\)になったから\(+4\)の部分が違うんじゃない?

元の式:\(x^2+4x\)

展開した式:\(x^2+2x+2x+4\)

くりまろ
くりまろ

そうだね!\(+4\)が邪魔だね。邪魔だから\(-4\)で引いちゃおう!

トムくん
トムくん

そんな都合が悪いから引く!みたいなことしていいの?

くりまろ
くりまろ

全然OKだよ!数学は大体都合が悪いからって理由で色々するからね。
\(\pi=3.14\dots\)なんて数字書くのめんどくさいなー、そうだ!文字にしちゃおう!って感じで出来たからね(多分 笑)

トムくん
トムくん

じゃあ引いてみよう・・・

$$x^2+4x=(x+2)^2-4$$

となります。そろそろ最初に無視した\(+3\)も考えましょう。最初の式は、

$$x^2+4x+3$$

だったので、さっき邪魔な\(4\)を引いて作った式、\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)を当てはめると、

$$x^2+4x+3=(x+2)^2-4+3$$

になります。つまり、

$$\begin{eqnarray}
(x+2)^2-4+3&=0\\
(x+2)^2-1&=0\\
(x+2)^2&=1
\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

ここまできたら、平方根を手に入れてるから解けるんじゃないかな?

トムくん
トムくん

え〜っとつまり・・・

\((x+2)\ \rightarrow\ □\)として・・・

$$\begin{eqnarray}
□^2&=1\\
□&=1,\ -1
\end{eqnarray}$$

だから、\(□\)が\(1\)か\(-1\)になる\(x\)を探せばいいんだな!

ここで\(□\)を元に戻して・・・

$$\begin{eqnarray}
ⅰ.\ \ x+2&=&1\ \\
ⅱ.\ x+2&=&-1\\
\rightarrow\ x&=&-1,\ -3
\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

正解!もう二次方程式は解けたから、中学で習う代数は終わりになります。笑
少しだけ練習してから、この記事のゴールの問題を解きましょう!

二次方程式(2/3)

さっきは\(x^2+4x+3\)で、真ん中が\(4x\)だったから半分にできたけど、ここが奇数だったらどうなるか考えてみましょう!

例題$$x^2+3x-4=0$$

\(3\)を半分にして\((x+□)^2\)にしなきゃいけないのかあ。分からないけど半分ってことは\(\frac{3}{2}\)・・・??

そうだよー

うおおお!当たった。じゃあさっきみたいにやってみよう!

まずは、\(-4\)を無視して\((x+□)^2\)を作る。

$$\begin{eqnarray}
(x+\frac{3}{2})^2 &=& (x+\frac{3}{2})\ \times\ (x+\frac{3}{2})\\
&=& x^2+\frac{3}{2} x+\frac{3}{2} x+\frac{9}{4}\\\end{eqnarray}$$

元の式と比べると\(\frac{9}{4}\)が邪魔だな。これを引けばいいのか・・

それと最初に無視した\(-4\)も忘れないようにね!

$$\begin{eqnarray}
x^2+3x-4 &=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-4&=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-\frac{16}{4}&=&0 \\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}&=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2&=&\frac{25}{4}
\end{eqnarray}$$

分数ばっかりでややこしいなあ・・・でもさっきの通りやってみよう!

$$(x+\frac{3}{2})\ \rightarrow\ ◎$$

$$\begin{eqnarray}
(◎)^2&=&\frac{25}{4}\\
◎&=&\frac{5}{2},\ -\frac{5}{2}
\end{eqnarray}$$

つまり、

$$\begin{eqnarray}
◎\ &\rightarrow& \ (x+\frac{3}{2})\\
x+\frac{3}{2}&=&\frac{5}{2}\\
x&=&\frac{2}{2}=1\\
x+\frac{3}{2}&=&-\frac{5}{2}\\
x&=&-\frac{8}{2}=-4\\
x&=&1,\ -4
\end{eqnarray}$$

正解!!もう二次方程式は大丈夫だね!最初に設定したゴールの式を解いて終わりにしよう!

二次方程式(3/3)

ここまで長い旅路でした。お疲れ様です!

本記事のゴールの問題に取り掛かりましょう!

例題(本記事ゴール)$$3x^2+6x-6=0$$

今度は\(x^2\)に数字がついてるじゃん・・・

そうだね。でも簡単だからちょちょいと解いちゃおう!最初は両辺を\(3\)で割るよ!

$$\begin{eqnarray} 3x^2+6x-6 &=& 0\\
(3x^2+6x-6)\ \div\ 3&=&0\ \div\ 3 \\
x^2+2x-2&=&0 \\ \end{eqnarray}$$

\(x^2\)の\(3\)が無くなった!これなら解けそうー

トムくん
トムくん

まずは\(-2\)を無視して、\((x+□)^2\)の形を作る!\(2x\)の\(2\)の半分は\(1\)だから・・・

$$\begin{eqnarray}
(x+1)^2 &=& (x+1)\ \times\ (x+1)\\
&=& x^2+x+x+1\\
&=& x^2+2x+1\\ \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

ってことは邪魔な数字は\(1\)だから、\(1\)を引いちゃえばいいんだな。その後もともとあった\(-2\)も付けてやろう

$$\begin{eqnarray}
x^2+2x &=&(x+1)^2-1 \\
x^2+2x-2&=&(x+1)^2-1-2 \\
&=&(x+1)^2-3 \\ \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

ここから\(x\)を求めるぞ!

$$\begin{eqnarray}
(x+1)^2-3 &=& 0\\
(x+1)^2 &=& 3\\\\
x+1\ &\rightarrow& \ ◎\\\\
(◎)^2&=& 3\\
◎&=&\sqrt{3},\ -\sqrt{3}\\\\
◎\ &\rightarrow& \ x+1\\\\
x+1&=&\sqrt{3}\\
x+1&=&-\sqrt{3}\\
x=\sqrt{3}-1,\ -\sqrt{3}-1
\end{eqnarray}$$

どうだ!

すごい!正解だ!!!

最後の答えにルートが出てきたから焦ったけど解けたよ!

これで二次方程式は完璧だね。最後に少しだけ補足しておくね!

二次方程式の解の公式

実は二次方程式には解の公式というものがあります。これを使えば一撃で正解が出せるってやつです。

POINT(解の公式)\(ax^2+bx+c=0\)のとき、
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

ただし、この式は余裕があれば覚えればOKで、基本的にはこの記事のやり方でやりましょう!

覚えると突然、二次方程式が簡単に解けるようになるので覚えるのもありですが 笑

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