1記事で分かる初めての【二次方程式】| 文系OK

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中学数学の難敵の1つに二次方程式があります。

なぜ難敵かと言うと、中学で習う「代数」の頂点に位置するからです。代数っていうのは「正の数・負の数」や「分配法則」、「平方根」、「文字式」に「方程式」といった、聞くだけで嫌になるような単元達でできています。笑

ここで紹介した単元を全て理解していないと、解けないのが二次方程式なので、そりゃ難敵になりますよね。

 

この難敵である二次方程式を、ゼロから分かるように書いたのが、この記事です。つまり、この1記事だけで「正の数・負の数」から「二次方程式」までの全てが理解できるのです。中学で習う「代数」をこの記事だけで十分理解できます!

 

もちろん文系の方にも理解できるように分かりやすく書きました。では、本題に移りましょう!

トムくん
トムくん

文系の僕にも理解できるかなぁー
楽しみだ!

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まずはゴールを設定しよう

数学が苦手な人は「何をやっているか分からない!」と、なることが多いです。そりゃ、何を料理しているか分からないのに、ずーっと人参切ってたらつまらないですよね。

 

ってことで、まずはゴールを設定します。この問題が解けたらクリアっていう問題を決めますね。

問題(本記事のゴール)$$3x^2+6x-6=0$$

トムくん
トムくん

意味わからないよ・・・\(x\)ってなに・・・??

くりまろ
くり博士

1つずつ理解していけば絶対解けるようになるよ。挫折しそうだったらゴールを忘れて、とりあえず読んでいってもいいかもだよ。

では、ゴールも決まったことですし、ゴールするための道具集めから始めましょう!最初の道具は「分からないものをxと置く技」です。

分からないものを\(x\)と置く

1つ目の道具は分からないものを\(x\)と置くです。

この\(x\)が出てきた途端に数学が苦手になる人が多いなあと印象を持ってます。なのでこの\(x\)に置くことを理解できた途端に数学が得意になる人も多いです。

では、簡単な例から。

例題A君はリンゴを3個B君にあげました。A君は今リンゴを5個持っています。最初に持っていたリンゴは何個でしょう。

トムくん
トムくん

簡単だよ。8個でしょ?

くりまろ
くりまろ

正解!どうやって解いた?

トムくん
トムくん

\(3+5=8\)って式で解いたよ。

くりまろ
くりまろ

そうだね。簡単だったかな。じゃあ、分からないものを\(x\)と置いて解いてみよう!

求めたい数はA君が最初に持っていたリンゴの数なので、A君が最初に持っていたリンゴの数を□とします。すると、こんな式を立てることができます。

$$□-3=5\\
□=8$$

これが分からない数を\(x\)と置く技です。(今回はわかりやすく\(□\)を使いましたが、\(□\)を\(x\)とすると、\(x\)と置く技になります。)

$$x-3=5\\
x=8$$

トムくん
トムくん

つまり、求めたい数を\(x\)って置いて計算するってことね。でも、計算するだけなら\(x\)なんて使わなくてもいいよね?

くりまろ
くりまろ

今回の例題みたいな簡単な場合は使わなくてもいいね。でも複雑になると、使った方が早く解けるんだよ。もう1つ例題を解いてみようー!

例題ある数を2倍して6足したら12になりました。ある数とは何でしょう。

トムくん
トムくん

これは分かるぞ。ある数を\(x\)って置くんだな!

くりまろ
くりまろ

正解!理解するの早いなあ。じゃあ式を立ててみよう。

$$x\  \times \ 2+6=12$$

ある数(\(x\))を2倍(\(\times \ 2\))して6足した(\(+6\))ら12だからあってるね!

トムくん
トムくん

式は立てれたけど、解けないよ。ムズイ・・・

くりまろ
くりまろ

そういう時は\(x\times 2\)を1つのまとまりとして考えてみよう!

$$x\ \times \ 2 \rightarrow ◎ $$

とすると、

$$◎+6=12\\
◎=6$$

だと分かります。

$$◎\rightarrow x\ \times \ 2$$

と元に戻してやると、

$$x\ \times \ 2=6$$
と分かります。

トムくん
トムくん

わかった。\(x\)は3だ!

くりまろ
くりまろ

正解!思ったより簡単だったでしょ?

数学は今回の例題みたいに、わからないものを1つのまとまりにして解いていくだけなんだよ。この1つのまとまりを\(x\)と置くのが数学のルールみたいになってるよ。
だけど\(x\)じゃないとダメって訳じゃなくて、□でも◎でも問題ないよ!\(x\)の方が数学では一般的だから慣れてほしいけどね 笑

トムくん
トムくん

なるほど〜。\(x\)と置く技は習得できたと思う。

くりまろ
くりまろ

じゃあ次に〜〜を解説するね。

 

次に行く前に、ここで1つポイント。

\(x\)と数字の書き方

POINT\(x\times 2は\rightarrow 2x\)と書きます。
\(2\times xも\rightarrow 2x\)と同じ様に書きます。
ただし、\(1\)は省略することができます。
\(1\times x=x\)の様な感じです。また、\(2x+x\)みたいに\(x\)の足し算や引き算では、これをくっつけることができます。
\(2x+x=3x\)といった具合です。

では、次の道具、「負の数」をゲットしましょう!

負の数

いきなり例題から。

例題$$2\ \times \ □+8=0$$

トムくん
トムくん

これは分かるぞ。\(2\ \times \ □\)を◎とするんだな。

$$\begin{eqnarray}
2\ \times \ □ &\rightarrow& ◎\\
◎+8 &=& 0\\
◎ &=& -8 \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

これで◎がわかったから・・・

$$\begin{eqnarray}
◎&\rightarrow&2\ \times \ □\\
2\ \times \ □ &=& -8\\
□&=&-4\end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

答えは\(-4\)だな!

くりまろ
くりまろ

すごい!正解!
今使ったのが、ここでゲットする道具「負の数」だよ!

負の数は現実に存在していません。リンゴが\(-1\)個とかはありえないですからね。

でも、温度計の氷点下、例えば「\(-3°\)」なんかは負の数がないと表現できませんよね。そういった問題を解決するために生まれたのが負の数です。

トムくん
トムくん

負の数と引き算って同じ記号「\(-\)」を使うけど同じ意味なの?

くりまろ
くりまろ

これは少しややこしいけど違うんだよ。負の数の「\(-\)」は「これは負の数ですよ!」っていう目印なんだ。引き算の\(-\)とは違うよ。

トムくん
トムくん

んー、でも正の数には「\(+\)」がついてないよね?

 

くりまろ
くりまろ

もちろん正の数に「\(+\)」をつけて「\(+3\)」って書いてもいいんだけど、そしたら記号だらけでややこしくなるでしょ?

だから昔の偉い人が、「正の数の+は省略しても良い!」って決めたんだよ。

POINT記号「\(-\)」には2つの意味があります。

  1. 引き算を表す
  2. 負の数の目印

正の数の「\(+\)」は省略するので、書かないことの方が多いです。

負の数の引き算

負の数が何となく分かったところで、負の数の引き算も考えてみよう。

例えば次の式を確認しよう。

例題$$\begin{eqnarray} 5-(-3) &=& \\ 5+3&=&8 \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

あれ、\(-3\)にカッコがついて\(-3\)になってるね。

くりまろ
くりまろ

これは、\(5\)から\(-3\)を引くって意味だよ。カッコがないと\(5-\ -3\)ってなって見にくいからね。

トムくん
トムくん

確かに見にくいな・・・
カッコが付く理由はわかったけど、\(-3\)引くってのが分からないよ。マイナスが2つでプラスになるのも分からない・・・、リンゴを\(-3\)個あげるってことだよね??

くりまろ
くりまろ

そうだよ!\(-3\)個あげるから3個増えるんだよ。ピンと来なければ、数学ってそういうもの!って思っちゃうのがいいかも。そういう決まりだから仕方ない!って納得して次に進もう〜

POINTプラスとマイナスの関係

$$\begin{eqnarray}
(+)\ と\ (+)\ &\rightarrow& \ (+)\\
(+)\ と\ (-)\ &\rightarrow& \ (-)\\
(-)\ と\ (+)\ &\rightarrow& \ (-)\\
(-)\ と\ (-)\ &\rightarrow& \ (+)\\
\end{eqnarray}$$

\((-)\ と\ (-)\ \rightarrow \ (+)\)は違和感があるかもしれないけど、「そういうもの!」と受け入れてしまおう!!

負の数が分かったところで、負の数のかけ算も考えてみましょう!

二次方程式と負の数のかけ算

では例題から入りますね。

例題$$□\ \times\ □=9$$
□に入る数字は何?
トムくん
トムくん

んー、今度はかけ算になったか。でも簡単だね!
答えは\(3\)!

くりまろ
くりまろ

正解!かけ算なのに簡単に解いちゃったね。実はこれが二次方程式なんだよ。

トムくん
トムくん

え!?そうなの?文字が2つあるから?

くりまろ
くりまろ

いや、文字が2つかかっているから二次方程式なんだ。

POINT\(□+2□=3□\ \rightarrow\)一次方程式(結局文字は1つだから)
\(□\ \times\ □\ \rightarrow\)二次方程式(文字が2つだから)
くりまろ
くりまろ

ちなみに二次方程式には答えが2つあるよ。さっきの問題の答えも2つあるけど分かるかな?

トムくん
トムくん

え・・・

くりまろ
くりまろ

答えは\(-3\)だよ!だからさっきの答えは\(3と-3\)の2つだね。

トムくん
トムくん

あー、なるほどね。\(-3\ \times\ -3=9\)なのか
プラスとマイナスのかけ算ってややこしくて苦手なんだよね・・

くりまろ
くりまろ

プラスとマイナスのかけ算は4通りしかないから、チャチャっと理解しちゃおう!

 

POINT負の数のかけ算

$$\begin{eqnarray}
(+)\ \times\ (+)\ &=& \ (+)\\
(+)\ \times\ (-)\ &=& \ (-)\\
(-)\ \times\ (+)\ &=& \ (-)\\
(-)\ \times\ (-)\ &=& \ (+)
\end{eqnarray}$$

「なぜ、\((-)\ \times\ (-)\ = \ (+)\)になるのか」という質問をよく受けますが、ここでは一旦忘れましょう。

ひとまず、数学ってそういうもの!って思って先に進みましょう。これはもう数学の決まり事なので、深く考える前に先に進む方がオススメです。

 

負の数が分かったところで、少し難しい(と思われてるけど実は簡単な)平方根に移りましょう!

平方根(ルート)

じゃあこちらも例題から!

例題$$□\ \times\ □=5$$
□に入る数字は何?
トムくん
トムくん

5になるの!?
んー、2だと4になるし、3だと9だから、\(2.3\)くらいかな?笑

くりまろ
くりまろ

惜しいけど不正解だね。
\(2.1, 2.2, 2.3\dots\)って全部試しても答えは分からないよ!
答えはズバリ、\(2.2360679\dots\)!

トムくん
トムくん

分かる訳ないじゃん・・・

くりまろ
くりまろ

そう!それにこの答えは無限に続いていくから、無理数って呼ばれてるんだ。「こんな数ないよ!無理!」っていう数のことだよ。

トムくん
トムくん

じゃあどうしたらいいの?無理なんだよね?笑

くりまろ
くりまろ

うん。だから昔の偉い人はさっきの式の\(□\)に入れれる物はないかなあ。あっ!そういう記号作っちゃうか〜!って誕生したのが平方根\(\sqrt{\ }\)なんだよ。平方根は数字ってより記号と思った方が分かりやすいかもね!

例えばさっきの例題で考えてみましょう。

$$\sqrt{5}\ \times\ \sqrt{5}=5$$

と表せます。なので答えは\(\sqrt{5}, -\sqrt{5}\)になります。

 

トムくん
トムくん

じゃあ、\(□\ \times\ □=3\)なら答えは\(\sqrt{3}, \sqrt{-3}\)ってこと?

 

くりまろ
くりまろ

そうだよ!

トムくん
トムくん

めっちゃ簡単じゃん!

 

POINT平方根は同じ数を2つ掛けることで\(\sqrt{\ }\)の中身の数字になる記号みたいなもの。但し、記号だけど「ある数字」を表しているよ!

$$\begin{eqnarray}
\sqrt{1}&=&1 \\
\sqrt{2}&=&1.41421356\dots \\
\sqrt{3}&=&1.7320508\dots \\
\sqrt{4}&=&2\\
\sqrt{5}&=&2.2360679\dots
\end{eqnarray}$$

ちなみに・・・

\(1.41421356\times1.41421356=1.999999\dots\)
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)

なので、

\(\sqrt{2}=1.41421356\dots\)になるんです。

 

さあ、分からないものを\(x\)と置く技、負の数、平方根を理解できたので、最後の道具である分配法則を手に入れましょう!

分配法則

分配法則(1/2)

じゃあ例題から解いていきましょう!

例題$$2\ \times\ (3+1)$$

トムくん
トムくん

え〜これは簡単だよ。カッコの中から計算するんでしょ。

$$\begin{eqnarray} 2\ \times\ (3+1) &=& 2\ \times\ 4\\
&=& 8\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

正解!じゃあこれを分配法則で解いてみるね。

$$\begin{eqnarray} 2\ \times\ (3+1) &=& 6+2\\
&=& 8\end{eqnarray}$$

ってすることもできるんだ!

分配法則(1/2)$$a\ \times \ (b+c)=ab+ac$$

分配法則(2/2)

では分配法則の発展版を理解していきましょう!例題からです。

例題$$(3+2)\ \times\ (4+3)$$

トムくん
トムくん

答えは簡単に分かるけど、分配法則を使おうと思うと難しいな・・・

$$(3+2)\ \times\ (4+3)=5\ \times \ 7=35$$

くりまろ
くりまろ

正解!じゃあ分配法則で解いてみよう!

$$\begin{eqnarray}
&\ &(3+2)\ \times\ (4+3)\\
&=&(3+2)\times4\ +\ (3+2)\times3\\
&=&12+8+9+6\\
&=& 35\end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

え!?普通に解いたほうが簡単じゃん!

くりまろ
くりまろ

こういう数字がわかってる場合はそうだね。だけど、分からない数\(x\)が入っていると、分配法則を使わないといけなくなるんだよ。

例題$$(x+3)\ \times\ (x+1)=0$$

トムくん
トムくん

おー、ほんとだ。分配法則がないと\(x\)が分からないね・・・

くりまろ
くりまろ

分配法則を使って解いてみよう!

$$\begin{eqnarray} (x+3)\ \times\ (x+1)&=& 0\\
x^2+x+3x+3&=&0 \\
x^2+4x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

式は整理できたけど\(x^2\)が出てきちゃったから、\(x\)が何か分からないよ・・・

そうだね!実はこれが二次方程式なんだ!ここから二次方程式の解き方を理解していこう!

分配法則(2/2)$$(a+b)\ \times\ (c+d)=\\(ac+ad)+(bc+bd)$$

今まで手に入れた道具は

  • 分からないものを\(x\)と置く
  • 負の数
  • 平方根(ルート)
  • 分配法則

です。これらをフル活用して二次方程式を理解しましょう!

二次方程式を解く

二次方程式(1/3)

さっき出てきた式を使って、二次方程式を解いていきましょう!

例題$$x^2+4x+3=0$$

この式を解きます。

まずは、\((x+□)^2\)の形を作ることを意識します!ってことで\(+3\)は無視します!(一旦!)

トムくん
トムくん

忘れていいの?笑

くりまろ
くりまろ

後からしっかり登場するから大丈夫だよ!
\(x^2+4x\)だけ考えよう!

この\(4x\)に注目します。この\(4\)を半分にして\((x+□)^2\)の\(□\)に突っ込みます!つまり\(4\)の半分の\(2\)を入れます。

そしたらどうなるでしょうか。考えてみましょう。

$$\begin{eqnarray} (x+2)^2 &=& (x+2)\ \times \ (x+2)\\
&=&x^2+2x+2x+4 \\
&=& x^2+4x+4 \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

あれ?\(x^2+4x\)だったのに\(x^2+2x+2x+4\)になったから\(+4\)の部分が違うんじゃない?

 

元の式:\(x^2+4x\)

展開した式:\(x^2+2x+2x+4\)

くりまろ
くりまろ

そうだね!\(+4\)が邪魔だね。邪魔だから\(-4\)で引いちゃおう!

トムくん
トムくん

そんな都合が悪いから引く!みたいなことしていいの?

くりまろ
くりまろ

全然OKだよ!数学は大体都合が悪いからって理由で色々するからね。
\(\pi=3.14\dots\)なんて数字書くのめんどくさいなー、そうだ!文字にしちゃおう!って感じで出来たからね(多分 笑)

トムくん
トムくん

じゃあ引いてみよう・・・

$$x^2+4x=(x+2)^2-4$$

となります。そろそろ最初に無視した\(+3\)も考えましょう。最初の式は、

$$x^2+4x+3$$

だったので、さっき邪魔な\(4\)を引いて作った式、\(x^2+4x=(x+2)^2-4\)を当てはめると、

$$x^2+4x+3=(x+2)^2-4+3$$

になります。つまり、

$$\begin{eqnarray}
(x+2)^2-4+3&=0\\
(x+2)^2-1&=0\\
(x+2)^2&=1
\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

ここまできたら、平方根を手に入れてるから解けるんじゃないかな?

トムくん
トムくん

え〜っとつまり・・・

\((x+2)\ \rightarrow\ □\)として・・・

$$\begin{eqnarray}
□^2&=1\\
□&=1,\ -1
\end{eqnarray}$$

だから、\(□\)が\(1\)か\(-1\)になる\(x\)を探せばいいんだな!

ここで\(□\)を元に戻して・・・

$$\begin{eqnarray}
ⅰ.\ \ x+2&=&1\ \\
ⅱ.\ x+2&=&-1\\
\rightarrow\ x&=&-1,\ -3
\end{eqnarray}$$

くりまろ
くりまろ

正解!もう二次方程式は解けたから、中学で習う代数は終わりになります。笑
少しだけ練習してから、この記事のゴールの問題を解きましょう!

二次方程式(2/3)

さっきは\(x^2+4x+3\)で、真ん中が\(4x\)だったから半分にできたけど、ここが奇数だったらどうなるか考えてみましょう!

例題$$x^2+3x-4=0$$

\(3\)を半分にして\((x+□)^2\)にしなきゃいけないのかあ。分からないけど半分ってことは\(\frac{3}{2}\)・・・??

そうだよー

うおおお!当たった。じゃあさっきみたいにやってみよう!

まずは、\(-4\)を無視して\((x+□)^2\)を作る。

$$\begin{eqnarray}
(x+\frac{3}{2})^2 &=& (x+\frac{3}{2})\ \times\ (x+\frac{3}{2})\\
&=& x^2+\frac{3}{2} x+\frac{3}{2} x+\frac{9}{4}\\\end{eqnarray}$$

元の式と比べると\(\frac{9}{4}\)が邪魔だな。これを引けばいいのか・・

それと最初に無視した\(-4\)も忘れないようにね!

$$\begin{eqnarray}
x^2+3x-4 &=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-4&=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-\frac{16}{4}&=&0 \\
(x+\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}&=&0\\
(x+\frac{3}{2})^2&=&\frac{25}{4}
\end{eqnarray}$$

分数ばっかりでややこしいなあ・・・でもさっきの通りやってみよう!

$$(x+\frac{3}{2})\ \rightarrow\ ◎$$

$$\begin{eqnarray}
(◎)^2&=&\frac{25}{4}\\
◎&=&\frac{5}{2},\ -\frac{5}{2}
\end{eqnarray}$$

つまり、

$$\begin{eqnarray}
◎\ &\rightarrow& \ (x+\frac{3}{2})\\
x+\frac{3}{2}&=&\frac{5}{2}\\
x&=&\frac{2}{2}=1\\
x+\frac{3}{2}&=&-\frac{5}{2}\\
x&=&-\frac{8}{2}=-4\\
x&=&1,\ -4
\end{eqnarray}$$

正解!!もう二次方程式は大丈夫だね!最初に設定したゴールの式を解いて終わりにしよう!

二次方程式(3/3)

ここまで長い旅路でした。お疲れ様です!

本記事のゴールの問題に取り掛かりましょう!

例題(本記事ゴール)$$3x^2+6x-6=0$$

今度は\(x^2\)に数字がついてるじゃん・・・

そうだね。でも簡単だからちょちょいと解いちゃおう!最初は両辺を\(3\)で割るよ!

$$\begin{eqnarray} 3x^2+6x-6 &=& 0\\
(3x^2+6x-6)\ \div\ 3&=&0\ \div\ 3 \\
x^2+2x-2&=&0 \\ \end{eqnarray}$$

\(x^2\)の\(3\)が無くなった!これなら解けそうー

トムくん
トムくん

まずは\(-2\)を無視して、\((x+□)^2\)の形を作る!\(2x\)の\(2\)の半分は\(1\)だから・・・

$$\begin{eqnarray}
(x+1)^2 &=& (x+1)\ \times\ (x+1)\\
&=& x^2+x+x+1\\
&=& x^2+2x+1\\ \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

ってことは邪魔な数字は\(1\)だから、\(1\)を引いちゃえばいいんだな。その後もともとあった\(-2\)も付けてやろう

$$\begin{eqnarray}
x^2+2x &=&(x+1)^2-1 \\
x^2+2x-2&=&(x+1)^2-1-2 \\
&=&(x+1)^2-3 \\ \end{eqnarray}$$

トムくん
トムくん

ここから\(x\)を求めるぞ!

$$\begin{eqnarray}
(x+1)^2-3 &=& 0\\
(x+1)^2 &=& 3\\\\
x+1\ &\rightarrow& \ ◎\\\\
(◎)^2&=& 3\\
◎&=&\sqrt{3},\ -\sqrt{3}\\\\
◎\ &\rightarrow& \ x+1\\\\
x+1&=&\sqrt{3}\\
x+1&=&-\sqrt{3}\\
x=\sqrt{3}-1,\ -\sqrt{3}-1
\end{eqnarray}$$

どうだ!

すごい!正解だ!!!

最後の答えにルートが出てきたから焦ったけど解けたよ!

これで二次方程式は完璧だね。最後に少しだけ補足しておくね!

二次方程式の解の公式

実は二次方程式には解の公式というものがあります。これを使えば一撃で正解が出せるってやつです。

POINT(解の公式)\(ax^2+bx+c=0\)のとき、
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

ただし、この式は余裕があれば覚えればOKで、基本的にはこの記事のやり方でやりましょう!

 

覚えると突然、二次方程式が簡単に解けるようになるので覚えるのもありですが 笑

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