今回は平方完成について解説していきます！
平方完成は図にある通り、２次式を１次式の2乗に変換することです。
この記事では、
- 平方完成のやり方３選！
- 平方完成を二次関数に応用する方法
- 平方完成を二次方程式に応用する方法
を共有していきますよー！
工学博士として２５年以上数学を学び、使ってきた僕が解説します。実際に勉強した方法や注意点を交えて説明していきますよ〜
平方完成３つのやり方
この記事でわかる３つのやり方！
- 係数を比較するやり方（一般的な方法）
- 公式を使ったやり方と公式の求め方
- 分数で括るときのやり方
平方完成は大きく３つのやり方があります。
３つのやり方はどんな問題でも使えるので、自分に合ったやり方を選んで使いましょう。
３つもあると特に数学が苦手な方は、難しそうだなと感じると思います。そんな時は３つ目のやり方の公式を丸暗記しましょう！
公式は万能なので覚えてしまえば分数の計算だけで、平方完成ができます！最初は丸暗記でいいので、少しずつ慣れていきましょうね。
因数分解するやり方
では１つ目の因数分解を使うやり方です。例題を通して学びましょう！
【例題】
\(y=4x^2+8x+5\) を\(y=a(x-p)^2+q\)の形に直しなさい。
まず、定数項を無視して２次の係数で括ってやります。ここでは\(4\)ですね。
\begin{eqnarray} y &=& 4x^2+8x+5 \\
&=& 4(x^2+2x)+5 \end{eqnarray}
次に、かっこの中を\((x-p)^2\)の形にしてあげます。
\(x\)と１次の項に\(\displaystyle \frac{1}{2}\)をかけた値（今回は\(2\times\displaystyle \frac{1}{2}=1\)）の和を２乗してあげましょう。
そして、数の調整で\(1^2=1\)を引いてあげます。
あとは計算していけば \(p,\ q\) が求まります。
\begin{eqnarray} y &=& 4(x^2+2x)+5
&=&4\{(x+1)^2-1\} +5\\
&=&4(x+1)^2+1\end{eqnarray}
以上より、\(y=4(x+1)^2+1\)が答えだと分かりました。
\(p=-1,\ q=1\)ですね！
係数を比較するやり方
２つ目の因数分解を使うやり方です。例題を通して学びましょう！
【例題】
\(y=4x^2+8x+5\) を\(y=a(x-p)^2+q\)の形に直しなさい。
この問題は言い換えると「\(p\)と\(q\)を求めなさい。」と言う問題です。
今回のやり方は３つのSTEPで平方完成できます。
- 二次の係数で括る(\(a\)で括る)
- 一次の係数から\(p\)を決める
- 定数項を比較して\(q\)を決める
\(y=4x^2+8x+5\) の場合、二次の係数が\(4\)、一次の係数が\(8\)、定数項が\(5\)です。
STEP1: 二次の係数で括る
STEP1は、\(4x^2+8x\)の部分に注目して二次の係数（今回は\(4\)）で括りましょう。
一旦\(+5\)は横に置いておいて、\(x^2\)の係数の\(4\)で括ってやります。
$$4x^2+8x+5=4(x^2+2x)+5$$
STEP２: 一次の係数から\(p\)を決める
次にSTEP１で作った \(4(x^2+2x)+5\)を使って、一次の係数から\(p\)を求めます。
最初の式とゴールの式をイコールで結ぶと、$$4(x^2+2x)+5=4(x-p)^2+q$$です。
右辺の\((x-p)^2\)を展開して、一次の係数を比較してみましょう。
$$4(x^2+2x)+5=4(x^2-2px+p^2)+q$$
ここで一次の係数だけに注目すると、\(-2p=2\)となるはずなので\(p=-1\)と分かります。
$$4(x^2+2x)+5=4(x+1)^2+q$$
STEP3: 定数項から\(q\)を求める
最後に定数項から\(q\)を求めましょう。
\(p=1\)を代入して右辺を展開すると、
\begin{eqnarray} 4(x+1)^2+q &=& 4(x^2+2x+1)+q \\
&=&4(x^2+2x)+4+q \end{eqnarray}
です。
定数項だけ比較すると、\(5=4+q\)になりますね。
つまり\(q=1\)とわかりました。
以上より、例題の答えは
$$4x^2+8x+5=4(x+1)^2+1$$
となります！
係数を比較するこのやり方は一般的ですが、何度も練習しないとテストで頭がこんがらがってしまいがちです。
公式を覚えなくていい分、しっかり練習問題を解いておきましょうね。
平方完成の公式を使ったやり方と証明
次は公式を使って１発で求める方法です。
公式は、以下の通り
平方完成の公式
$$y=ax^2+bx+c$$
を平方完成すると
$$y=a\left( x+\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
となる。
平方完成の公式を使えば、
\(y=ax^2+bx+c\)を
\(y=a(x-p)^2+q\)に直すときは
$$p=-\displaystyle \frac{b}{2a},\ q=-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
を代入すればいいことになります。
公式を使った解き方
【例題】
\(y=4x^2+8x+5\) を\(y=a(x-p)^2+q\)の形に直しなさい。
先ほどの問題を例に公式を使ってみましょう。
$$p=-\displaystyle \frac{b}{2a},\ q=-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
に代入するだけでOKです。
\(p\)の計算
\begin{eqnarray} p &=& -\displaystyle \frac{b}{2a} \\
&=& -\displaystyle \frac{8}{2\times4}\\
&=&-1 \end{eqnarray}
\(q\)の計算
\begin{eqnarray} q &=&\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}\\ \\
&=& -\displaystyle \frac{8^2-4\times4\times5}{4\times4}\\\\
&=&-\displaystyle \frac{-16}{16}\\
&=&1 \end{eqnarray}
以上より、\(y=4(x+1)^2+1\)となる。
\(p=-1\)と\(q=1\)が導けたので、係数を比較する方法と答えが一致しましたね！
公式を覚えておくだけで簡単に平方完成ができるので、記憶力に自信がある人にはおすすめのやり方です！
平方完成の公式を証明
平方完成の公式を証明を確認したいときは、下のボタンを押すと見れるようになってます！
\begin{eqnarray} y &=& ax^2+bx+c \\ \\
&=& a\left(x^2+\displaystyle \frac{b}{a}x\right)+c\\\\
&=& a\left(x^2+\displaystyle \frac{b}{a}x+\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c \\\\
&=& a\left( x+\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}\end{eqnarray}
以上より、\(y = ax^2+bx+c\)を平方完成すると、
$$y=a\left( x+\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
になります。
分数が出てくるパターン
【例題】
\(y=2x^2+3x+1\) を\(y=a(x-p)^2+q\)の形に直しなさい。
この問題のように、分数が出てくるパターンも存在します。
\begin{eqnarray} y &=& 2x^2+3x+1 \\
&=& 2\left( x^2+\displaystyle \frac{3}{2}x\right)+1 \end{eqnarray}
このように、２次の係数で括ってやると分数が出てきます。
この例題を１つ目の因数分解の方法と、３つ目の公式の方法で平方完成してみましょう！
因数分解で計算する場合
\begin{eqnarray} y &=& 2x^2+3x+1 \\
&=& 2\left( x^2+\displaystyle \frac{3}{2}x\right)+1\\\\
&=& 2\left(\left( x+\displaystyle \frac{3}{4}\right)^2-\displaystyle \frac{9}{16}\right)+1\\\\
&=& 2\left( x+\displaystyle \frac{3}{4}\right)^2-\displaystyle \frac{9}{8}+1\\\\
&=&2\left( x+\displaystyle \frac{3}{4}\right)^2-\displaystyle \frac{1}{8}\end{eqnarray}
基本は同じですが、分数が出てくる分計算が少しややこしいですね。
公式で計算する場合
公式に代入してみましょう。
$$p=-\displaystyle \frac{b}{2a},\ q=-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
\(p\)の計算
\begin{eqnarray} p &=&-\displaystyle \frac{b}{2a}\\ \\
&=& -\displaystyle \frac{3}{4} \end{eqnarray}
\(q\)の計算
\begin{eqnarray} q &=& -\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a} \\
&=& -\displaystyle \frac{9-8}{8}\\\\
&=&-\displaystyle \frac{1}{8} \end{eqnarray}
\(p\)と\(q\)を代入すると、
\begin{eqnarray} y &=& a(x-p)^2+q \\
&=& 2\left( x+\displaystyle \frac{3}{4}\right)^2-\displaystyle \frac{1}{8} \end{eqnarray}
となります。
二次関数への応用
ここからは平方完成を二次関数に応用する方法です！
実は、平方完成で求めてきた \(p\) と \(q\) は二次関数の頂点座標になります。
そのため、平方完成することで二次関数の頂点座標がひと目でわかるようになるのです。
もう少し詳しく教えて欲しい・・・
では、解いてきた例題を使って説明しますね。
頂点座標を求めてみよう！
それでは、例題を使って確認します。
例題
$$y=4x^2+8x+5$$ の頂点座標を示せ。また、グラフを書け。
まずは、平方完成しましょう。
$$y=4x^2+8x+5= 4(x+1)^2+1 $$
このとき、\(p=-1\)、\(q=1\)でしたね。
\(y=a(x-p)^2+q\)の二次関数の頂点座標は\((p,\ q)\)です！
つまり、\(4(x+1)^2+1\)の頂点座標は\((-1,\ 1)\)となります。
グラフを書いてみよう！
頂点座標は\((-1,\ 1)\)だとわかりましたね。
二次関数のグラフは頂点座標から\(y=ax^2\)のグラフを書けばOKです。
今回の問題は\(y=4(x+1)^2-1\)なので、\(y=4x^2\)のグラフを書くことになります。
中学校で習った\(y=4x^2\)のグラフの頂点を\((0,\ 0)\)から\((-1,\ 1)\)に移動すれば、グラフは完成です。
二次関数ではグラフを書くことが多くなるから、平方完成はとっても重要なのです！
二次方程式への応用
最後は二次方程式への応用です。
平方完成は二次関数だけではなく、二次方程式にも応用ができます。
ただし、二次方程式を解くときは解の公式を使った方が早いと僕は思っています。
なので「こんな使い方もできるのか〜」くらいに理解しておけばOKですよ！
二次方程式を解いてみる
例題を通して説明していきますね。
例題
$$2x^2-x-3=0$$
のときの\(x\)を求めよ。
中学生で習う二次方程式ですね。
解き方は因数分解、解の公式、平方完成の3種類あります。中学校では因数分解か解の公式で解くことが多いと思います。
二次方程式を解く方法３つ
- 因数分解
- 解の公式
- 平方完成
因数分解で解くとこうなります。
\begin{eqnarray} 2x^2-x-3 &=& 0 \\
(2x-3)(x+1)&=& 0\\
x=\displaystyle \frac{3}{2},\ -1 \end{eqnarray}
解の公式ならこうなります。
\begin{eqnarray} x &=& \displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\\
&=& \displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\\\\
&=&\displaystyle \frac{6}{4},\ \displaystyle \frac{-4}{4}\\\\
&=&\displaystyle \frac{3}{2},\ -1 \end{eqnarray}
では、平方完成で解いてみましょう。
平方完成で二次方程式を解く
平方完成の公式を使うと、$$p=-\displaystyle \frac{b}{2a},\ q=-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$$
より、\(p=\displaystyle \frac{1}{4}\), \(q=-\displaystyle \frac{25}{8}\)となります。
式変形してみましょう。
\begin{eqnarray} 2x^2-x-3 &=& 0 \\
2\left(x-\displaystyle \frac{1}{4} \right)^2-\displaystyle \frac{25}{8}&=& 0\\\\
2\left(x-\displaystyle \frac{1}{4} \right)^2&=&\displaystyle \frac{25}{8}\\\\
\left(x-\displaystyle \frac{1}{4} \right)^2&=&\displaystyle \frac{25}{16}\\\\
x-\displaystyle \frac{1}{4}&=&\pm\displaystyle \frac{5}{4}\\\\
x&=&\displaystyle \frac{3}{2},\ -1\end{eqnarray}
となります。
まとめ：平方完成
- 平方完成とは式の変形であり、計算方法は3種類
- 式を変形することで、頂点座標が分かりやすくなる
- 二次方程式にも応用可能！
お気軽にコメントください！ 質問でも、なんでもどうぞ！