【二次関数】平方完成を豊富な例題で理解しよう【工学博士が徹底解説!】

前回は二次関数の最大値・最小値の求め方を解説しました。

この最大値・最小値を求める、もしくは学んだグラフの書き方を実行するには、平方完成という計算が必要になります。

平方完成は二次関数を理解するには絶対に必要です。

しかし、難しいのも確かです。

そこで今回は、平方完成のやり方や使い方を、分かりやすく解説していきます。

但し、頂点座標やグラフの内容が理解できていないと「????」となってしまいます。

ですので、$$y=a(x-b)^2+c$$の頂点座標が分からない方がいましたら、こちらの解説を読んでおきましょう!

【二次関数】グラフ|平行移動と対称移動
二次関数のグラフを徹底的に解説します。頂点座標の探し方からグラフの書き方。グラフの平行移動と対称移動までしっかり解説しています。
工学博士
工学博士

平方完成は習得するのに練習が必要ですが、慣れてしまえば簡単です。あなたが他の科目を学ぶ際も、とても役に立つ知識ですので、がんばって理解しましょう。

スポンサーリンク
プロフィール
この記事を書いた人
トムソン

■ 九州大学工学博士
■ 現役半導体エンジニア
■ 高専卒
■ 第三種電気主任技術者
■ 第二種電気工事士

学校・塾に行けない人、子どもから大人まで、誰でもどこでも算数・数学を学べるサイトを目指しています。
SDGsの『4. 質の高い教育をみんなに』の一助になるよう頑張ってます!

詳しいプロフィールはこちら
お仕事のご依頼はこちら

Twitterはこちら!英語学習情報配信中

平方完成ってなに?

まずは平方完成って何なの?ってことについての解説です。前回までは
$$y=a(x-b)^2+c$$ のようにキレイに式がまとめられていました。

だから簡単に頂点座標は(b, c)って分かった訳です。しかし、これがもし展開された状態で表示されていたらどうでしょう。$$y=4x^2+8x+5$$の頂点座標を示せって問題があったとき、パッと答えが言えますか??

なかなか難しいですよね。そんなときに使うのが平方完成って方法になります。

使いこなすには少しコツが必要なのですが、練習すれば超絶簡単なので頑張りましょう!!

平方完成の例題

では、例題を通して使い方を学びましょう!

例題
$$y=4x^2+8x+5$$ の頂点座標を示せ。また、グラフを書け。

ではいってみましょう!

最終目標を確認しておきます。

例題の式である\(y=4x^2+8x+5\)を
$$y=a(x-b)^2+c$$ の形にすることが目標であり、これを平方完成と呼びます。

まずは、\(4x^2+8x\)の部分に注目して\(a\)を求めます。

\(4x^2+8x=4(x^2+2x)\)と\(4\)で括ってやります。この括った\(4\)が\(a\)です!

 

次に \(4(x^2+2x)\)を使って\(b,\ c\)を一気に求めます。

ゴールの形は\((x-b)^2\)なので、\(x^2+2x\)を変形する必要があります。試しに\((x-b)^2\)を展開してみましょう。

$$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$$

となります。ここで\(x\)の項に注目すると、\(-2bx=2x\)となるはずなので、\(b=-1\)と分かるのです。

 

しかし、 \((x+1)^2\)を展開すると$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$となって、最初の式と比べると\(+1\)が余分ですよね。

この\(+1\)の帳尻を合わせるために\(-1\)を付け加えてやります。

$$(x+1)^2-1$$

 

ここまでの変形をまとめます

$$\begin{eqnarray} y &=&4x^2+8x+5 \\ &=& 4(x^2+2x)+5\\ &=& 4[(x^2+2x)-1]+5\\ \end{eqnarray}$$

最後に\(c\)を求めるのですが、これは非常に簡単です。

\(4[(x^2+2x)-1]+5\)を展開するだけです。

\(4[(x^2+2x)-1]+5=4(x^2+2x)-4+5=4(x^2+2x)+1\)

つまり、\(c=1\)となります。

んーーー、と違和感を覚えたかもしれませんが、練習していくうちに慣れるので安心してください。

\(y=Ax^2+Bx+C\)の形を無理矢理\(y=a(x+b)^2+c\)の形に変換しているのでパズルのようになってしまうのです。

 

ただ、この変換をすることで二次関数として、かなり扱いやすくなるので昔の偉い人が考えた素晴らしい手法なんだなーくらいに考えていただければと思います。

平方完成の式変形

$$\begin{align}y &=4x^2+8x+5 \\&=4(x^2+2x)+5 \\&=4[(x+1)^2-1]+5 \\&=4(x+1)^2-4+5//&=4(x+1)^2+1\end{align}$$

この変形を「平方完成」と言います。

例題の再確認

それでは、ここまで来てもう一度例題を確認しましょう。

例題
$$y=4x^2+8x+5$$ の頂点座標を示せ。また、グラフを書け。

さっきまで、意味不明でしたがゴールが見えてきた感じがしませんか?

つまり、
$$y=4x^2+8x+5= 4(x+1)^2+1 $$ なのです。

じゃあ、頂点座標は簡単ですね。

はい、(-1, 1)です!
※(1, 1)ではない点に注意!!

平方完成のグラフを書いてみよう!

まあグラフは正直簡単で、$$y=4x^2$$のグラフを(-1, 1)から書けばOKです!

まとめ:平方完成

  • 平方完成とは式の変形であり、結構簡単
  • 式を変形することで、頂点座標が分かりやすくなる
  • 違和感のある変形だと思うけど、繰り返し練習すれば違和感がなくなる

ってところです。練習問題も用意したので、チャレンジしてみてください!理解できていれば簡単ですよ〜

【二次関数の練習問題】覚えた知識を定着!【詳しい解説付き】

コメント