【二次関数】グラフの平行移動|わかりやすく具体例で解説【工学博士監修】

今回は二次関数のグラフの平行移動について解説します。

グラフの書き方については、「頂点座標とグラフの書き方」をご確認くださいませ!

この記事で解説する内容

  • 二次関数の式(\(y=a(x-b)^2+c\))の意味
  • グラフの平行移動のやり方
  • \(y=Ax^2+Bx+C\)の場合の平行移動のやり方

図を使ってわかりやすく解説していきますよ!

トムソン
トムソン

この記事を読めば、二次関数の平行移動のやり方をバッチリ学べます。数I成績UP間違いなしですよ。

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二次関数の式(\(y=a(x-b)^2+c\))の意味

二次関数の基本的な式は$$y=a(x-b)^2+c$$です。

中学数学の場合は\(y=ax^2\)だったので、かなり複雑になったように見えます。

しかし、式の文字が何を表しているかを知れば、この式は見た目ほど難しくありません!

まずは、式とグラフの関係についてみていきましょう。

\(a\)は形を決めている

\(y=a(x-b)^2+c\)の\(a\)は2次関数のグラフの形を決めています。

\(a\)が正だと「\(U\)」の形、\(a\)が負だと「\(\cap\)」で形が逆になります。

また、\(a\)が大きいとグラフは細くなり、\(a\)が小さいと太くなりますね。

\(b\)と\(c\)はグラフの場所を決めている

\(y=a(x-b)^2+c\)の\(b\)と\(c\)はグラフの場所を決めています。

つまり、平行移動は\(b\)と\(c\)で決まるのです。

トムソン
トムソン

では、具体的にどのように場所が決まるのかを具体例を使って説明していきますね!

二次関数のグラフ平行移動のやり方

\(b\)と\(c\)についてもう少し詳しく見ていきます。

\(b\)は頂点の\(x\)座標、\(c\)は頂点の\(y\)座標を表しています。

  • \(b\)は頂点の\(x\)座標を表す
  • \(c\)は頂点の\(y\)座標を表す

二次関数のグラフの平行移動では、頂点座標を基準にして考えるのが1番簡単です。

とは言っても難しいと思うので、具体例を使ってグラフの平行移動について考えてみましょう。

グラフの平行移動の具体例

【例題】

\(y=2x^2\)をどのように移動すれば、\(y=2(x-3)^2+5\)のグラフとなるでしょう。

ヒントは、\(y=2x^2\)の頂点座標をどのように移動したら、\(y=2(x-3)^2+5\)の頂点座標になるかを考えるといいです。

解答は↓をタッチ!

【答え】

\(x\)方向に\(3\), \(y\)方向に\(5\)平行移動する。

【解説】

まずは、図を見てみましょう。

二次関数のグラフの平行移動では、頂点座標を基準に考えます。

\(y=2x^2\)の頂点座標は原点、つまり\((0,\ 0)\)ですね。

次に、\(y=2(x-3)^2+5\)の頂点座標は\((3,\ 5)\)です。

つまり、

$$(0,\ 0)\ \rightarrow\ (3,\ 5)$$

にすれば良いので、\(x\)軸は\(+3\)移動、\(y\)軸は\(+5\)移動すればOK

以上より、『\(x\)方向に\(3\), \(y\)方向に\(5\)平行移動する。』が答えとなります。

注意点があるとすればこの形。$$y=2(x+1)^2-1$$\((b=-1, c=-1)\)ですよね。

つまり、\(x\)方向に\(-1\)、\(y\)方向に\(-1\)移動するということです。

うっかり、「\(b=1\)だ!」と勘違いしないように気を付けましょう。

トムソン
トムソン

\(y=a(x-b)^2+c\)の平行移動は理解できましたか?まだ完璧じゃないと思います!でも基礎はバッチリできたので、あとは練習問題をたくさん解けば完璧になりますよ。

最後に\(y=a(x+b)^2+c\)ではない場合の平行移動を確認していきます。

二次関数(\(y=Ax^2+Bx+C\))のグラフ平行移動

二次関数は大きく2つの式の書き方があります。

  1. \(y=a(x-b)^2+c\)
  2. \(y=Ax^2+Bx+C\)

この2種類です。

1の場合は、\(b\)と\(c\)が頂点座標を表しています。

グラフを描くのも、平行移動するのも簡単です。

一方で2の\(y=Ax^2+Bx+C\)の場合は、頂点座標を1発で求めることができません。

そのため$$y=Ax^2+Bx+C\ \rightarrow\ y=a(x-b)^2+c$$

と直してやる必要があります。

この計算を平方完成と呼びます。

平方完成は、二次関数の計算でも難しいため別の記事で詳細の解説をしました!

今回は二次関数(\(y=Ax^2+Bx+C\))グラフの平行移動の手順だけ書いていこうと思います。

二次関数グラフの平行移動のやり方|(\(y=Ax^2+Bx+C\))

2ステップで平行移動ができます。

平行移動のやり方|2ステップ

  1. 平方完成で式を変形する(\(y=Ax^2+Bx+C\ \rightarrow\ y=a(x-b)^2+c\))
  2. \(y=a(x-b)^2+c\)の平行移動のやり方で計算する。
トムソン
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どちらにしても\(y=a(x-b)^2+c\)の平行移動が必要になるので、しっかり理解しておきましょう!

まとめ|二次関数の平行移動

この記事で解説した内容

  • 二次関数の式(\(y=a(x-b)^2+c\))の意味
  • グラフの平行移動のやり方
  • \(y=Ax^2+Bx+C\)の場合の平行移動の手順

二次関数は、

の3つが難問です。

しかし、平行移動は今回でマスターできたので、残りの2つもしっかりマスターしていきましょう!

今回は二次関数のグラフの平行移動について解説します。

グラフの書き方については、「頂点座標とグラフの書き方」をご確認くださいませ!

この記事で解説する内容

  • 二次関数の式(\(y=a(x-b)^2+c\))の意味
  • グラフの平行移動のやり方
  • \(y=Ax^2+Bx+C\)の場合の平行移動のやり方

図を使ってわかりやすく解説していきますよ!

トムソン
トムソン

この記事を読めば、二次関数の平行移動のやり方をバッチリ学べます。数I成績UP間違いなしですよ。

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