二次関数の最大値と最小値の求め方|文章と動画で解説【定義域も】

二次関数の最大値・最小値の求め方を解説します。

『最大値』『最小値』を簡単に理解できる説明になっていますので、よかったら最後まで読んでみてください。

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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二次関数の最大値と最小値とは

そもそも二次関数の最大と最小って何でしょうか。

例えば、\(y=a(x-b)^2+c\)があったとします。
この式のグラフを書くと\(a\)の値が\(a>0\)か\(a<0\)かによって、上に凸か下に凸のグラフとなります。

このとき凸のてっぺんの部分が最大値もしくは最小値になります。

二次関数のグラフ(a>0とa<0)
二次関数のグラフ(a>0とa<0)

ここで\(a>0\)の場合は図の左のグラフになり、下に凸の部分が最小値です。
一方で、\(a<0\)の場合は図の右のグラフとなり、上に凸の部分が最大値です。

二次関数のグラフは無限に続いていくので、定義域がない場合は『最大値』もしくは『最小値』しか存在しません

\(a>0\)のとき(左のグラフのとき)、『\(x=b\)のとき、最小値は\(c\) 』と書きます。
\(a<0\)のときは(右のグラフのとき)、『\(x=b\)のとき、最大値は\(c\) 』と書きます。

二次関数の最大値・最小値の求め方|定義域なし

では、簡単な例題を使って解説していきます。

例題

以下の式の\(y\)最大値と最小値を求めよ。
最大値もしくは最小値が存在しない場合は『存在しない』と書くこと。

$$y=2(x-4)^2+3$$

解答

 \(x=4\)のとき最小値が\(3\)、最大値は存在しない。

解説

まずは頂点座標を求めます。
頂点座標は二次関数の式から\((4,\ 3\)です。

また、\(a=2>0\)なので、下に凸のグラフとなります。
つまり最小値が存在し、最大値が存在しないグラフです。

定義域がない問題なので、頂点座標が最小値となります。

以上より答えは、
\(x=4\)のとき最小値が\(3\)、最大値は存在しない。
となります。

定義域がない場合の二次関数の最大値と最小値を求めるポイントをまとめましたので、興味がありましたら下記をクリックしてみてください。

定義域がない場合のポイント

二次関数が最大値を取るか、最小値を取るかの判断基準

$$y=a(x-b)^2+c$$

\(a>0\):最小値が存在する

\(a<0\):最大値が存在する

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実力試しの2択クイズ!

Q1

\(y=(x-2)^2+1\)の最小値は?

1

存在しない

2分の解説動画

2分で復習できる解説動画を作成しましたので、ぜひ参考にしてください!

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