二次関数は頂点が存在して、そこからは永久に上がるか下がるかのグラフになります。なので、頂点の値が二次関数の最大値もしくは最小値となるわけです。
今回はその二次関数の最大値もしくは最小値を求める方法を説明していきます。
二次関数の基礎については別記事に記載しております。
具体的には、\(y=a(x-b)^2+c\)の式の頂点座標を見つけてグラフを書くというものです。もし、この式の頂点座標が分からない場合は↓の記事を読み直してみてください！
それでは、二次関数の最大と最小について学びたいと思います。
前回の内容を理解していればすごく簡単です！しかもテスト意外に出やすかったりするので、しっかり知識として蓄えましょう。
そんなに難しい内容ではありませんが、大切な所なのでしっかり理解しましょう。
二次関数の最大と最小って何？
二次関数の最大と最小って何でしょうか。例えば、$$y=a(x-b)^2+c$$があったとします。
すると、グラフはこうなりますよね。↓↓
ここで\(a>0\)の場合は最小が、\(a>0\)の場合は最大が、それぞれ存在しています。
これを、
x=bのとき最大（小）値c と書きます。
具体的な例を見てみましょう。
最大値と最小値の求め方
前に書いた通り、二次関数のグラフは絶対に「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になります。
「U」の字なら最小値が、「\(\cap\)」の字なら最大値があるわけです。
では、例題を通して具体的に見ていきましょう。
\(y=(x-2)^2+1\)の場合
例題
\(y=(x-2)^2+1\)の最大値と最小値を求めよ。
勘の良い方なら分かったと思いますが、最大値と最小値が両方存在することはありません！例えば「U」の字場合の最大値は♾ですよね。
今回の問題は、$$y=a(x-b)^2+c$$で表すと\(a=1>0\)なのでグラフは「U」の字です。
つまり、最大値は「存在しない」が答えとなります。（♾ではありません！笑）
では最小値はなにか・・・
ずばり、頂点座標が答えとなります。$$y=(x-2)^2+1$$の頂点座標は(2, 1)ですよね。
頂点座標は下の図のように、
「x＝２のとき、最小値１」が答えとなります。
もう１問解いてみましょう！
\(y=-3(x-1)^2+4\)の場合
例題
\(y=-3(x-1)^2-4\)の最大値と最小値を求めよ。
今回は\(a=-3<0\)とaが0より小さくなっています。つまりグラフは・・・「\(\cap\)」の字ですね。ということは、最大値と最小値のどっちが存在しないことになるでしょう。
はい、最小値が「存在しない」ことになります。
では最大値を求めましょう。下の図のようなグラフが書けるはずですね。頂点座標はどうでしょうか。$$y=-3(x-1)^2-4$$なので、(1, -4)です。
以上より、「x=1のとき、最大値−4」となります。
理解してしまえば簡単ですよね！
まとめ
二次関数の最大・最小について解説しました。
- 二次関数は「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になる。
- それぞれ、最小値（U)、最大値（\(\cap\)）が存在する。
- その値は頂点座標の値であり、書き方は「x=〜のとき、最大（小）値〜」
以上がまとめです。
次回は平方完成となります！
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