三角関数⑤:余弦定理を完全解説!公式の証明と使い方

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三角関数には慣れてきましたか?全14回の三角関数講座もこれで第5回です。

今回は受験で必須と言っても過言ではない余弦定理を解説します!公式を暗記するだけではなく、その証明をしっかり理解することで、自分のものにしてしまいましょう!

画像名
くりまろ
余弦定理は本当に大事だからこの記事でしっかり「もの」にしよう!
トムソン
式は丸暗記したけど、証明も使い方も分からないよー

※この記事は10分程度で読めますが、余弦定理を完全に理解できます。
※証明には「三角関数」と「三平方の定理」を使います。理解できてないなーって方はまずそっちを読みましょう。

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余弦定理って何?

まずは余弦定理とは何か復習しましょう。ある三角形において、各辺と角には以下のような数式が成り立つ。という定理でしたね。

直角三角形でもないのに、こういう式が成り立つのは少し違和感がある・・・

と思ったあなた!すごく数学のセンスがいいです。思わなかったーってあなたもドンドン数学センスを磨いていきましょうね。

余弦定理の証明

余弦定理の証明を行います。

証明する式は

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

です!

まずc点から辺cに垂線を降ろします。すると直角三角形が二つできましたね。垂線と辺cの交点をDとします。

ここで左の三角形に注目します。三角関数を利用すると、辺CDの長さはb sinA、辺ADはb cosAと表すことができます。

 

次に右の三角形に注目しましょう!

直角三角形なので三平方の定理を利用しまして、

$$BC^2=DB^2+CD^2$$

が成り立ちますね。ここにさっきの値を代入してみましょう。

すると以下のように式を展開できます。

\begin{eqnarray} BC^2 &=& DB^2+CD^2 \\ a^2 &=&(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2 \\ a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2 \cos^2 A+b^2\sin^2A \\ a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A \end{eqnarray}

ここで、\(\sin^2 A+\cos^2A=1\)って式を利用しています!なんじゃそりゃって方はこちらをどうぞ!

三角関数②:覚えるべき三角関数の関係公式とその証明

これで余弦定理の証明完了ですね!

余弦定理の使い方

トムソン
余弦定理の証明は分かったよ!でもどうやって使うの?
画像名
くりまろ
使う方法は大きく2つあるよ。

くりさんも言っている通り、使い方は大きく2つあります。

  1. 2辺とその間の角がわかる時、残り1辺の長さがわかる
  2. 3辺の長さがわかる時、角度が全てわかる

2つともゆっくりと、できるだけ簡単に説明しますね。

余弦定理1|「2辺とその間の角」がわかる

1つ目の使い方を見ていきましょう。例えば以下のような三角形があったとします。

a=?, b=6, c=9, A=60°となっておりまして、aを求めましょう。

a²=b²+c²-2bc cosA

なので、

\begin{eqnarray} a^2 &=& 36+81-108\times0.5 \\ &=& 117-54\\&=&63\\a&=&\sqrt{63}=3\sqrt{7} \end{eqnarray}

となります。

2辺とその間の角が分かると残る1辺も求めることができましたね。

余弦定理2|「3辺」がわかる

3辺が分かる場合も考えてみましょう。

さっきの三角形をそのまま使うと分かりやすいので、そのまま使いましょう。

今回は

a=3√7, b=6, c=9, A=?

となりますね。

a²=b²+c²-2bc cosA

の式に当てはめて、

63=36+81-108cosA

108cosA=54

cosA=0.5

A=60°

となるわけです!ちなみに3辺が分かれば、A以外の角度も求めることができますよ!

余弦定理まとめ

余弦定理をまとめましょう!

  • 証明するときは垂線を降ろして2つに分ける
  • 使い方は2つあるよ
  • 2辺とその間の角が分かると、残り1辺もわかる
  • 3辺が分かると角が全てわかる

となります。接弦定理との違いもはっきりさせておきましょう!

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