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三角関数表のコサインの表におけるcos124°の導出

本解説では、cos 124° = -0.559193…を計算する方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求める方法を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、cos124°の算出方法解説です。

$$\cos 124°=-0.559193…$$

目次

10位までcos 124°を確認

最初に、cos 124°を10桁書いてみましょう!$$\cos 124° = -0.5591929035 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos124°の値を算出する

三角関数表を確認せずにcos124°の値を解く方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して124°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でcos124°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 124°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.164208…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 124°\)を求められます。

$$\cos 124° = -0.559193…$$

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