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三角関数表のコサインの表におけるcos283°を解く

本解説では、cos 283° = 0.224951…を計算する手法について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求める方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos283°の求める方法解説です。

$$\cos 283°=0.224951…$$

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cos 283° を10桁確認

初めに、cos 283°を10桁書いてみましょう!$$\cos 283° = 0.2249510543 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos283°の値を計算する

三角関数表を参照せずにcos283°の値を計算する手法は3つあります。

  1. 分度器を使用して283°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos283°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 283°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.939281…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 283°\)を求められます。

$$\cos 283° = 0.224951…$$

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