【三角関数の合成】最大値・最小値を求める方法【工学博士監修】

三角関数の最大値・最小値を求める方法の中でも、今回は三角関数の合成を使う求め方を解説します。

例えば、

$$y=\sin x-\cos x$$

の最大値・最小値を求めるイメージですね。

この記事でわかること

  • 三角関数の合成とは何か
  • 三角関数の合成の証明
  • 三角関数の合成を使った最大値・最小値の求め方
トムソン
トムソン

加法定理や公式など、三角関数の知識をフルに使うことになります。でも大丈夫!その都度、解説を入れて行くので、安心してください。

では、三角関数の合成とは何かを解説していきます!

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トムソン

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三角関数の合成とは何か

三角関数の合成とは

$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$

ただし、
\begin{eqnarray}  \cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin α &=&\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray}

このように、\(a\sin x+b\cos y\)の形を、\(\sin\)だけで表すことができるのが、三角関数の合成です。

三角関数の合成|証明

三角関数の合成の証明です。

証明だけで、結構長くなってしまったので別記事にまとめました。

よかったらご活用ください!

三角関数の合成で最大値・最小値を求める

本題の三角関数の合成を使って、最大値・最小値を求めていきましょう!

例題1

$$y=\sin x-\cos x$$

の最大値・最小値を求め、その時の\(x\)の値を求めよ。

まずは、$$y=\sin x-\cos x$$

を\(\sin\)の形に合成します。

解答1

$$\sin x-\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+α)$$

とする。

この時\(a=1,\ b=-1\)であるから、

\begin{eqnarray}
\sin x-\cos x
&=&\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+α)\\
&=&\sqrt{2}\sin(x+α)\\\\\\
\cos α=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\
\sin α=\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
\end{eqnarray}

より、\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}<α<0\)なので、\(α=-\displaystyle \frac{\pi}{4}\)である。

以上より、

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)$$

である。

\(-1≦\sin x≦1\)なので、\(-\sqrt{2}≦y≦\sqrt{2}\)となる。

以上より、

\(x=-\displaystyle \frac{\pi}{4}\)のとき、最小値\(y=-\sqrt{2}\)

\(x=\displaystyle \frac{3\pi}{4}\)のとき、最大値\(y=\sqrt{2}\)

である。

三角関数の合成|最大値・最小値 まとめ

三角関数の合成を使った、最大値と最小値の求め方を解説してきました。

三角関数の合成とは、\(a\sin x+b\cos y\)の形を、\(\sin\)だけで表すことができる方法です。

また、三角関数の合成を使えば、複雑な式も最大値・最小値を求めることができるようになります!

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