【三角比】の基本公式3選|90°-xの証明と解説【暗記しなくてもOK】

三角比の基本公式を3つ紹介します。

併せて”なぜこの公式が成り立つか”も証明しています。

今回解説する3つの公式はこちらです!

  1. \(\sin(90°-\theta)=\cosθ\)
  2. \(\cos(90°-θ)=\sinθ\)
  3. \(\tan(90°-θ)=\displaystyle \frac{1}{\tanθ}\)
トムソン
トムソン

この公式を暗記に頼らずに覚えたいな。

なんで成り立つのかも知りたい。

そもそも\(90°-\theta\)って何?

そんな疑問にお答えしていきます!

この記事でわかること!

  • \(90°-\theta\)が何かわかる!
  • 公式3つがなぜ成り立つのかわかる!
  • 式の証明もわかる!
  • 暗記に頼らず公式を覚えることができる!
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三角比の復習|直角三角形で考える\(90°-\theta\)

最初に三角比について復習しながら、\(90°-\theta\)を理解しましょう。

三角比の復習

三角比は3つの記号でできています。

\(\sin x\)(サイン), \(\cos x\)(コサイン), \(\tan x\)(タンジェント)の3つです。

それぞれが何を意味しているか。

下の図のような直角三角形があったとき、下記のような関係があります。

直角三角形
直角三角形

$$\sin θ = \displaystyle \frac{y}{r}$$

$$\cos θ = \frac{x}{r}$$

$$\tan θ = \frac{y}{x}$$

サインコサインタンジェントの覚え方はこちら

では、この三角形をθの角が上に来るように回転してみましょう。

このようになりますね。

直角三角形なので、左下の角度は\(90°-θ\)となります。

三角比を取ってみる|3つの公式の証明

左下の角度で三角比を取ってみましょう。

$$\sin(90°-θ)=\frac{x}{r}$$

$$\cos(90°-θ)=\frac{y}{r}$$

$$\tan(90°-θ)=\frac{x}{y}$$

見たことのある形になりました。

もう一手間加えると、最初に見た公式になります。

$$\sin(90°-θ)=\frac{x}{r}=\cos \theta$$

$$\cos(90°-θ)=\frac{y}{r}=\sinθ$$

$$\tan(90°-θ)=\frac{x}{y}=\frac{1}{\tanθ}$$

つまり、これで証明できたと言うわけです。

トムソン
トムソン

3つの公式を暗記するより、三角形を回転させてその場で考える方が簡単じゃないですか?

三角比の基本公式3選まとめ

  1. \(\sin(90°-θ)=\cosθ\)
  2. \(\cos(90°-θ)=\sinθ\)
  3. \(\tan(90°-θ)=\displaystyle \frac{1}{\tanθ}\)

公式は暗記するより、導き方を覚えた方が得ですよ!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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