【三角比】の重要公式|証明もしっかり解説

スポンサーリンク

三角比の重要公式とその証明を解説します。今回解説するのは以下の3つの式です。

三角比相互関係の公式!$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

物理や数学でよく出てくる特に重要な公式を選んだので、最後まで読んで理解してもらえたらと思います!

 

スポンサーリンク

\(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)の証明

三角比の相互関係は定理ではないので、証明ってほどでもないですが簡単なのでちゃちゃっとやっちゃいましょう!

このような三角形を基本に考えます。

すると、

$$\begin{align}
\sin^2 θ+\cos^2 θ&=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2\\&=\frac{x^2+y^2}{r^2}\\&=\frac{r^2}{r^2}※\\&=1\end{align}$$

(※ピタゴラスの定理より\(x^2+y^2=r^2\))

簡単ですよね。

\(\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}\)の証明

こちらもこの三角形を使います。

$$\begin{align}\frac{\sin θ}{\cos θ}&=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}
\\&=\frac{y}{x}
\\&=\tan θ  \end{align}$$

\(\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}\)の証明

これは上の2つの式を使えばすごく簡単です。

三角比相互関係の公式(再掲)$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

$$\begin{align}\tan^2 θ+1 &=\frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ}-(2)
\\&=\frac{\sin^2 θ+\cos^2 θ}{\cos^2 θ}
\\&=\frac{1}{\cos^2 θ}-(1)
\end{align}$$

(1), (2)ってのはその式を使ったよって意味です。超簡単ですよね!

不明点があれば、お問い合わせからお気軽にご連絡ください。

三角比の相互関係まとめ

今回の3つの相互関係(公式)は使う場面がすごく多いです。しかも、三角関数でもたくさん出てくるので今のうちにしっかり理解しておきましょう!

三角比は3種類あるのですが、3つバラバラではなく、3つ揃って三角比という意識を持っておくと良いでしょう。

$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

三角比・三角関数Topに戻る

コメント