三角関数表のタンジェントの表におけるtan252°を導出する

今回は、tan 252° = 3.077683…を算出する手法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は計算できます。
一方で、中途半端なθ=1°だと計算するのが難しいです。

本記事では、tan 252° = 3.077683…になる理由を説明します。

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10位目までtan 252°を確認

唐突ではありますが、tan 252°を10桁書いてみましょう!$$\tan 252° = 3.0776835371\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 252° = 3.077683…を明らかにする

tan 252° = 3.077683…を解くためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 252°=4.398229…$$ $$\sin 252° = -0.951057…$$
$$\cos 252° = -0.309017…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 252° = \displaystyle \frac{\sin 252°}{\cos 252°}$からtanを求められます。

$$\tan 252° = 3.077683…$$

tan 252°|120秒の復習動画

この記事で紹介した内容を120秒で復習できる動画を作りました!よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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