三角比と三角関数の違い|三角関数の全体像を掴む

三角比と三角関数は似ているようで大きく違います。
三角比は三角形だけを相手にしていますが、三角関数はを表しています。
どちらも「sin, cos, tan」の3つを利用するのにややこしいですよね。

全体像を知らずに三角関数を学び始めると、突然円やグラフが出てきて、三角比との違いにわけが分からなくなります。
そこに加法定理まで現れて、理解不能になってしまう学生さんが多いです。

どの科目・単元でもそうですが、まずは全体像を掴む。
そこから勉強を始めると理解度がグンッと上がります。

全体像が見えると、「今どの辺で何をしてるのかな?」って意識ができるからです。
漠然とした暗記から抜け出すことができますよ!

三角比と三角関数のゴールは、

数Ⅰ:三角比の性質を理解する。
数Ⅱ:加法定理を使いこなす!

です。前置きが長くなりましたが、早速全体像を掴んでいきましょう!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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三角比と三角関数の違い

全体像把握で一番大事なのが三角比と三角関数の違いです。

簡単に言うと三角比は測量なんかで使われていて、山や木の高さを測るときなどに役に立ちます。

詳しくは”三角比・三角関数の基礎sin・cos・tanが超簡単に分かる解説”に記載

一方で三角関数はを表しています。

こんな感じです。
見た目で全然違うのが分かると思いますが、どちらもサイン・コサイン・タンジェントを使うので、ややこしくなるのです。

何が何だか分からなくてもいいので、今は流し読みしてくださいね!

三角比

まずは三角比から説明します。

三角比は直角三角形の2辺の長さの比

三角比は簡単に言うと直角三角形の2辺の長さの比です。

この角度θによって、rとxとyの比が変わっていきます。代表的な直角三角形を2つ紹介します。

小学校でも習う三角形ですね。このような三角形の辺の比を三角比と呼び、三角比を表すのがsin,cos,tanの3つです。

覚えるのは3つ|sin,cos,tan

今は覚えなくていいですが、「こういうのがあるんだ~」くらいに理解しててください!

  • \(\sin θ=\frac{y}{r}\)・・・①
  • \(\cos θ=\frac{x}{r}\)・・・②
  • \(\tan θ=\frac{y}{x}\)・・・③

\(\sin,\ \cos,\ \tan\)のわかりやすい解説は下記の記事を参照してください!

>>三角関数をわかりやすく解説<<

三角比の性質と相互関係

三角比の性質がいくつかありますが、

$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

$$1+\frac{1}{\tan^2 θ}=\frac{1}{\sin^2 θ}・・・(4)$$

このような式があります。
上記の公式の使い方や証明は下記の記事を参考にしてください。

>>三角比の相互関係<<

また、三角比は応用することで、正弦定理余弦定理といった新たな公式になります。
三辺の長さから三角形の面積を求めるヘロンの公式も有名です。

上記の公式をマスターできれば、三角比は完璧と言っていいでしょう!


それではここからは三角関数の解説です!

三角関数

三角比との違いを意識しながら、読んでみてください。
ただし全てを理解しようとすると難しいので、「こんな感じかー」くらいの距離感で読んでください!

三角関数が表すのは波

三角比が三角形の辺の長さの比であったのに対して、三角関数は波を表す関数です。
携帯やテレビを使うときの電波だったり、音楽などの音波も三角関数がないと成り立ちません。

三角関数はこれらの波を扱うための基礎となります。
それを意識しながら学習すると、少しはイメージしやすいかもしれませんね。

三角比では三角形を扱っていたのに、突然上の図のような波が現れるので心の準備をしておきましょう!

三角関数のグラフについては下記の記事を参考にしてください。

>>三角関数のグラフ<<

360°法から弧度法へ

三角関数では弧度法という方法を使います。
簡単に図だけ貼っておくとこんな感じです。

360°法ではなく弧度法を利用することで、三角関数が微分積分でとっても扱いやすくなります。
微分積分を習うまではめんどくさく感じると思いますが、必須アイテムなので、今のうちに理解しておくと良いでしょう。

弧度法の詳しい解説は下記の記事に譲ります。

>>弧度法のわかりやすい解説<<

最後は加法定理

三角関数の全体像把握まであと1つです。
加法定理が分かれば三角関数は大体OKまで来ます。

加法定理はそれ自体もかなり重要ですが、加法定理から導く公式がとても多く、それらの公式も重要です。

加法定理とは

加法定理はこの6つの式です。

$$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\cdots(1)$$

$$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ\cdots(2)$$

$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\cdots(3)$$

$$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\cdots(4)$$

$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}\cdots(5)$$

$$\tan(α-β)=\frac{\tanα-\tanβ}{1+\tanα\tanβ}\cdots(6)$$

証明や覚え方は下記の記事に記載しております。

>>加法定理の証明と覚え方<<

加法定理の応用

加法定理の応用は有名なものだけで4種類あります。

ここでは名前だけの紹介にしますが、どれもよく使う公式ですよ!
一度証明を確認しておく価値はあります。

下記のリンクから、各公式の解説に飛べるようになってます!
よかったら参考にしてください。

  1. 倍角(二倍角)の公式
  2. 半角の公式
  3. 和積の公式
  4. 積和の公式

また、加法定理とその応用公式についてまとめた記事もありますので、こちらもご利用くださいませ!

>>加法定理とその応用<<

今回は以上です!

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