三角比がわからない人へ|定規で有名な三角形の比率で基礎を理解

三角比

\begin{eqnarray} \sin \theta&=&\frac{x}{r}\\
\cos \theta &=& \frac{y}{r}\\
\tan \theta &=& \frac{y}{x} \end{eqnarray}

三角比は難しい。とても難しい。

でも三角比を理解していないと、次につながる三角関数微分積分、さらには物理まで分からなくなってしまいます。

三角比が分からないことで理系科目が嫌いになる前に、三角比を克服してしまいましょう。

ここでは、「三角比が分からない」っていう現役の方から、「三角関数が分からないから、三角比からやり直したい」って方まで、\(\sin,\ \cos\ \tan\)が理解できる記事を作りました!

最後まで読んでもらえれば、三角比の基礎はバッチリ理解できます。

もし、理解ができなくてもTwitter(@rikeinvest)で気軽に質問してもらえれば、回答しますのでDMくださいませ。質問内容は

  • なんで\(\sin,\ \cos\ \tan\)を使うか分からない
  • 三角関数との違いって何?
  • 何が分からないか分からないが分からない!

など、なんでもOKです!では、解説していきます!

そもそも三角比って何?

まずは、そもそも三角比って何?ってことを話していきます。

三角比は「直角三角形の辺の比」のことを表しています。三角形の中でも直角三角形のみの辺の比ってのが1個のポイントですかね。

直角三角形は3つの角のうち、1つの角が直角 (90度) です。三角比はこの直角以外の角度が1つでも分かれば、3辺の長さの比率が分かるっていう優れものです。

これを数学的に表したものが\(\sin,\ \cos\ \tan\)になるわけです。

毎回「こことここの辺の比が・・・」って言うわけにもいかないので「\(\sin\)ならここの比」ってルールを昔の偉い人が作ったのです。その辺を理解していきましょう。

三角定規で考える三角比

三角比を説明する前に、三角比の理解を助けるために1番有名で1番簡単な直角三角形を例に説明しますね。

1番有名な三角形とは、三角定規の2つの三角形です。

この2つの直角三角形はそれぞれの角の角度が、

$$45,\ 45,\ 90と30,\ 60,\ 90$$

となっています。そして、辺の比がそれぞれ、

$$1:1:\sqrt{2},\ 1:2:\sqrt{3}$$

です。簡単に言ってしまえば、この長さの比こそが三角比です。

でも、どうやって比を表したらいいでしょうか。例えば45度を持つ三角形の比を考えましょう。

「45度を持つ直角三角形の1番長い辺ともう1つの辺の比は\(1:\sqrt{2}\)」と伝えると長いですよね。

そこで使えるのが\(\sin,\ \cos\ \tan\)となります。上記の比を伝えるには、\(\sin 45^{circ}\)でOKなのです。

では、三角定規になった2つの三角形を使って\(\sin,\ \cos\ \tan\)を理解していきましょう!

三角比\(\sin,\ \cos\ \tan\)の意味

「サインコサインタンジェント」ゴロがいいので聞いたことある方も多いのではないでしょうか。

これはそれぞれ直角三角形の辺の長さの比を表しています。

  • \(\sin\)(サイン)
  • \(\cos\)(コサイン)
  • \(\tan\)(タンジェント)

普通\(\sin\)や\(\cos\)を単体で使うことはなく、\(\sin\ +\)(角度)として使います。分かりにくいので、図を使って1つずつ解説していきましょう。

サイン(\(\sin\))とは

サイン(\(\sin\))とは、直角三角形のある角度\(\theta\)の、斜辺\(r\)と高さ\(y\)の比を表しています。

つまり、図にあるように\(\sin \theta=\displaystyle\frac{y}{r}\)となります。

難しいかもしれませんが、「角度\(\theta\)を持つ直角三角形の斜辺と高さの比」と書くのが大変だから使っている記号が\(\sin\)と思えば理解が早くなるかもしれません。

コサイン(\(\cos\))とは

コサイン(\(\cos\))とは、直角三角形のある角度\(\theta\)の、斜辺\(r\)と底辺\(x\)の比を表しています。

図にあるように\(\sin \theta=\displaystyle\frac{x}{r}\)となります。

こちらも\(\sin\)と同様に、「角度\(\theta\)を持つ直角三角形の斜辺と底辺の比」と書くのが大変だから使っている記号が\(\cos\)と思えば良いでしょう。

タンジェント\(\tan\)とは

タンジェント(\(\tan\))とは、直角三角形のある角度\(\theta\)の、底辺\(x\)と高さ\(y\)の比を表しています。

これまでの\(\sin\theta ,\ \cos\theta ,\ \tan\theta\)を合わせて角度\(\theta\)

三角定規の三角比

三角定規の\(\sin,\ \cos\ \tan\)を考えてみましょう。

この三角形で考えてみます。

まずは\(30^{\circ}\)の三角比から!

\begin{eqnarray} \sin 30^{\circ}&=&\frac{1}{2}\\
\cos 30^{\circ}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\tan 30^{\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{eqnarray}

次に\(60^{\circ}\)の三角比を見ていきます。

\begin{eqnarray} \sin 60^{\circ}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\cos 60^{\circ}&=&\frac{1}{2}\\
\tan 60^{\circ}&=&\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \end{eqnarray}

このように同じ直角三角形の三角比だと、似たような値が出てきます。

これを式に直すと、以下の3つが成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\sin (90^{\circ}-\theta)&=&\cos \theta\\
\cos (90^{\circ}-\theta)&=&\sin \theta\\
\tan (90^{\circ}-\theta)&=&\frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}

これらの公式の詳しい解説は別記事に譲りますね!

三角比のまとめ

三角比

\begin{eqnarray} \sin \theta&=&\frac{x}{r}\\
\cos \theta &=& \frac{y}{r}\\
\tan \theta &=& \frac{y}{x} \end{eqnarray}

もし、難しい点がありましたらTwitter(@rikeinvest)で気軽に質問してもらえれば、回答しますのでDMくださいませ。

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