【おうぎ形】面積、中心角、弧の長さの求め方|公式と裏ワザも紹介

今回のテーマはおうぎ形です!

解説する内容はこちら

解説する内容!

  1. おうぎ形の面積、中心角、弧の長さの求め方
  2. 面積、中心角、弧、半径の公式
  3. おうぎ形を計算する裏ワザ

図を使ってわかりやすく説明しました。最後には裏ワザも紹介しますよ!

トムソン
トムソン

工学博士で25年以上数学を学んできた僕が解説します!おうぎ形は計算がややこしくなりがちですが、がんばりましょう!

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おうぎ形の面積、中心角、弧の長さの求め方

おうぎ形の面積と弧の長さの関係はこちら!

面積:\(半径\times半径\times円周率\times\displaystyle \frac{中心角}{360}\)

弧長:\(2\times半径\times円周率\times\displaystyle \frac{中心角}{360}\)

おうぎ形は円の一部を切り取った図形なので、中心角が存在しています。

円全てだと\(360°\)になるため、\(\displaystyle \frac{中心角}{360}\)を最後にかけて面積や長さを出しています。

最初に円全体の面積や弧の長さを出して、最後に\(\displaystyle \frac{中心角}{360}\)で調整しているイメージです。
\(\rightarrow\)参考:円周の求め方

では実際におうぎ形の面積や弧の長さを計算してみましょう。

おうぎ形の面積を求める

半径が\(3\)、中心角が\(36°\)のおうぎ形の面積を求めよ

公式を使うとこうなります。

$$3\times3\times\pi\times\displaystyle \frac{36}{360}=9\times\pi\times\displaystyle \frac{1}{10}=\displaystyle \frac{9}{10}\pi$$

円周率は\(\pi\)で表しているので、小学生に教える場合などは\(\pi=3.14\)として計算してください。

おうぎ形の弧の長さを求める

半径が\(5\)、中心角が\(60°\)のおうぎ形のこの長さを求めよ

公式を使うとこうなります。

$$2\times5\times\pi\times\displaystyle \frac{60}{360}=10\times\pi\times\displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{5}{3}\pi$$

円周率は\(\pi\)で表しているので、小学生に教える場合などは\(\pi=3.14\)として計算してください。

中心角がわからない場合の面積

では中心角がわからない場合の面積を求めてみましょう。

半径が\(5\)、弧の長さが\(\displaystyle \frac{5}{3}\pi\)のおうぎ形の面積を求めよ。

まずは弧の長さから中心角を求めます。

$$弧長=2\times半径\times円周率\times\displaystyle \frac{中心角}{360}$$

より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{5}{3}\pi &=& 2\times 5\times\pi\times\displaystyle \frac{中心角}{360} \\
10\pi\times\displaystyle \frac{中心角}{360} &=& \displaystyle \frac{5}{3}\pi \\
\displaystyle \frac{中心角}{360}&=&\displaystyle \frac{1}{6}\\
中心角&=&60
\end{eqnarray}

これで中心角が\(60°\)とわかりました。

ここから面積を求めると、

\(5\times5\times\pi\times\displaystyle \frac{60}{360}=\displaystyle \frac{25}{6}\pi\)となります。

円周率は\(\pi\)で表しているので、小学生に教える場合などは\(\pi=3.14\)として計算してください。

おうぎ形の面積を求める裏ワザ

最後におうぎ形の面積を求める裏ワザの紹介です。

先ほどの中心角がわからないおうぎ形だと、面積を求めるために中心角を求める必要がありました。

めんどくさいですよね。

そんなときに使える裏ワザです。

実は、\(面積=\displaystyle \frac{1}{2}\times半径\times弧の長さ\)で求めることができます。

やってみましょう!

半径が\(5\)、弧の長さが\(\displaystyle \frac{5}{3}\pi\)のおうぎ形の面積なので

$$\displaystyle \frac{1}{2}\times5\times \displaystyle \frac{5}{3}\pi=\displaystyle \frac{25}{6}\pi$$

円周率は\(\pi\)で表しているので、小学生に教える場合などは\(\pi=3.14\)として計算してください。

このように一発で面積を求めることができる、とっても便利な裏ワザです!

今回は以上です!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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