倍数の判定法をわかりやすく解説|7、11の倍数の判定も紹介

今回は倍数の判定法を解説していきます。

解説する倍数は$2,3,4,5,7,8,9,11$です。証明と練習問題も解説していますので、倍数の判定法はこの記事を読むだけで成績アップ間違いなしです。

ぜひ最後まで読んでみてください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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倍数の判定法

2の倍数の判定法

2の倍数は、下一桁の数で判断します。

下一桁の数が$0、2、4、6、8$であれば$2$の倍数になります。

例 $34、698、2180$など

3の倍数の判定法

 3の倍数は、各位の数の和(足した数)で判断します

各位の数の和が3の倍数(3で割り切れる)であれば3の倍数になります。

例 $297→2+9+7=18$
$18$は$3$の倍数($3$で割り切れる)なので$297$は$3$の倍数になります。

$14593→1+4+5+9+3=22$
$22$は$3$の倍数ではない($3$で割り切れない)ので$14593$は$3$の倍数ではありません。

4の倍数の判定法

4の倍数は、下二桁の数で判断します。

下二桁の数が$00$または$4$の倍数($4$で割り切れる)であれば$4$の倍数になります。

 例 $5800→$下二桁の数が$00$なので$5800$は$4$の倍数になります。

$648→$下二桁の数$48$が$4$の倍数($4$で割り切れる)なので$648$は$4$の倍数になります。

5の倍数の判定法

$5$の倍数は、下一桁の数で判断します。

下一桁の数が$0$または$5$であれば$5$の倍数になります。

例 $8945、148730$など

8の倍数の判定法

8の倍数は、下三桁の数で判断します。

下三桁の数が8の倍数(8で割り切れる)であれば8の倍数になります。

例 $5464→464$は$8$の倍数($8$で割り切れる)なので$53464$は$8$の倍数になります。

$32146→146$は$8$の倍数ではない($8$で割り切れない)ので$32146$は8の倍数ではありません。

9の倍数の判定法

9の倍数の判定法は、各位の数の和(足した数)で判断します。

各位の数の和が9の倍数(9で割り切れる)であれば9の倍数になります。

例 $8163→8+1+6+3=18$
$18$は$9$の倍数($9$で割り切れる)なので$8163$は$3$の倍数になります。

$687→6+8+7=21$
$21$は$9$の倍数ではない($9$で割り切れない)ので687は9の倍数ではありません。

7と11の倍数の判定法

7と11の倍数の判定法は、他の倍数にくらべ少し手間がかかります。 

7の倍数の判定法

 7の倍数の判定法を2つ紹介します。

桁が大きい場合に有効な判定法

下一桁の数から3つの数字ごとに区切って「-」と「+」を繰り返していきます。

計算の結果、残った数が7の倍数(7で割り切れる)であれば7の倍数になります。

残った数はマイナスになることもあります。

  「-」から計算をスタートします。

  例 $374162642→3$つの数字ごとに区切ると $374/162/642$ になります。

「-」と「+」の順番で計算します。

$374-162+642=854$

$854÷7=122$  

854は7の倍数(7で割り切れる)なので$374162642$は7の倍数になります。

3桁以内の数であれば、次の判定法がおすすめです。

桁が少ない場合に有効な判定法(目安3桁以内の数)

「下一桁を抜いた数-下一桁の数の2倍」が0または7の倍数(7で割り切れる)であれば7の倍数になります。

例 $875→$下一桁を抜いた数 $87$ 

下一桁の数の2倍 5×2=10

$87-10=77$
$77$は7の倍数なので$875$は7の倍数になります。

11の倍数の判定法

11の倍数の判定法は、一番大きな桁の数から一つずつ順番に「-」と「+」を繰り返していきます。

残った数はマイナスになることもあります。

「-」から計算をスタートします。

計算の結果残った数が0または11の倍数(11で割り切れる)であれば11の倍数になります。

例 $726=7-2+6=11$
$11$は$11$の倍数($11$で割り切れる)なので$726$は$11$の倍数

$35671=3-5+6-7+1=-2$
$-2$は$11$の倍数ではないので$35671$は$11$の倍数ではありません。

倍数の判定法を使う練習問題

それでは、倍数の判定法を実際に使って問題を解いてみましょう。

2、4、5の倍数を求める問題

問題

【問題】次の『』内の数字について考えます。

『$465,\ 89,\ 513,\ 324,\ 800,\ 1071,\ 1422$』

① $2$の倍数をすべて答えなさい。

② $4$の倍数をすべて答えなさい。

③ $5$の倍数をすべて答えなさい。

解答

① 2の倍数は、下一桁の数が$0,2,4,6,8$の数

        答 $324、800、1422$

② 4の倍数は、下二桁の数が$00$、または$4$の倍数($4$で割り切れる)

        答 $324、800$

③ 5の倍数は、下一桁の数が$0$、または$5$の数

        答 $465、800$

□を埋める問題

問題1

$4$桁の整数$25□3$が$3$の倍数になるとき、$□$に入る数をすべて答えなさい。

解答 1

3の倍数は、各桁の数を足した数が3の倍数(3で割り切れる)の整数です。

つまり、$2+5+□+3$の答えが$3$の倍数になればOKです。

□が1のとき、合計11 ×

□が2のとき、合計12 〇

□が3のとき、合計13 ×

と調べていきます。

□が5のとき、合計15 〇

□が8のとき、合計18 〇

答 $2,\ 5,\ 8$

問題2

$3$桁の整数$35□$が$7$の倍数になるとき、$□$に入る数をすべて答えなさい。

解答2

 3桁より少ない数の判定なので、

 「$下一桁を抜いた数-下一桁の数$の$2$倍」が$0$、または$7$の倍数になることで判定します。

下一桁を抜いた数: $35$

下一桁の数の2倍: $□×2$ 

$35-□×2$の式で考えます。

$□$が$0$のとき、$35-0×2=35$ 
$〇(35は7$の倍数)

$□$が$1$のとき、$35-1×2=33$
×

$□が2$のとき、$35-2×2=31$
×

$□が3$のとき、$35-3×2=29$
×

と調べていきます。

$□が7$のとき、$35-7×2=21$
$〇(21は7$の倍数)

答 $0、7$

倍数の判定法の証明

下記に倍数の判定法の証明をまとめていますので、証明が気になる方はご利用ください。

まとめ

 倍数の判定法が使えるようになると、倍数に関する問題だけでなく分数の約分や通分を始めとしいろいろな面で便利です。

 特徴をグループ分けしたので覚える際の参考にしてください。

(下〇桁で判定する倍数)

  •  下一桁の数で判定する倍数:2、5の倍数
  • 下二桁の数で判定する倍数:4の倍数
  • 下三桁の数で判定する倍数:8の倍数
  • 各位の和(足し算の合計)で判定する倍数:3、9の倍数
  • 少し手間がかかる倍数:7、11の倍数

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