平方根の求め方|具体的な3つのステップ

今回は平方根の求め方です。
平方根は3ステップで求めることができます。

最後には手計算で求める方法も解説しています。
この記事を読めば平方根を簡単に求められるようになりますので、ぜひ最後まで読んでみてください。

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平方根の求め方|具体的3ステップ

最初に平方根を求める具体的な3ステップを紹介します。

平方根を求める3ステップ
  • ステップ1
    ルートをつけて素因数分解する

    平方根を求めたい数にルートをつけます。
    その後でルートに入れた数を素因数分解しましょう!

  • ステップ2
    ペアを作れた数字はルートの外に出す

    素因数分解でペアをつくれた数字はルートの外に出しましょう。
    \(2^2\)などは\(2\)が2つあるのでペアになります!

  • ステップ3
    答えに\(\pm\)をつける

    最後に平方根を求めているので、\(\pm\)をつけましょう!
    なぜ\(\pm\)をつけるかは後で解説します!

それでは例題を通して、具体的にステップ1〜ステップ3の計算を実施していきます!

ステップ1:ルートをつけて素因数分解をする

【例題】\(16\)の平方根を求めよ

では\(16\)の平方根を3ステップで求めていきます。

16にルートを付けると\(\sqrt{16}\)
16を素因数分解すると、\(16=2\times2\times2\times2=2^4=(2^2)^2\) です。

つまり、\(\sqrt{(2^2)^2}\)ができました。

ステップ2:ペアが作れた数字はルートの外に出す

\(2^2\)の二乗が現れたので、\(2^2\)のペアが作れました。

ペアの数字はルートの外に出せるので、\(\sqrt{16}=\sqrt{(2^2)^2}=2^2=4\)となります。

簡単に整数に直せましたね!

ステップ3:±をつける

最後に\(\pm\)をつけます。

\(\pm\)をつける理由は、マイナスの数とマイナスの数を掛けるとプラスになるので、マイナスの数も平方根になるからです。

従って、平方根はプラスとマイナスの2つの数になるので、平方根に±をつけます。
以上より、16の平方根は±4である。

平方根の求め方|問題

問題1|121の平方根を求めよ

121の平方根を求める方法
  • ステップ1
    ルートをつけて素因数分解する

    ルートを付けて\(\sqrt{121}\)です。

    121を素因数分解すると、\(121=11\times11=11^2\)となります。

  • ステップ2
    ペアを作れた数字はルートの外に出す

    \(11\)の二乗が現れたので、\(11\)のペアが作れました。

    ペアの数字はルートの外に出せるので、
    \(\sqrt{121}=\sqrt{11^2}=11\)になります。

  • ステップ3
    答えに\(\pm\)をつける

    最後に±をつけると、求める平方根は\(\pm11\)になります!

以上より、答えは\(\pm11\)です。


121の素因数が11であることを見つけるのは大変です。
9x9=81、10x10=100までは暗記している人は多いと思います。
更に、11x11=121,12x12=144、13x13=169位までを暗記しておくと、問題を解くときに役に立ちますよ。

問題2|8の平方根を求めよ

8の平方根を求める方法
  • ステップ1
    ルートをつけて素因数分解する

    ルートを付けて\(\sqrt{8}\)
    8を素因数分解すると、\(2\times2\times2=2^3=2^2\times2\)

  • ステップ2
    ペアを作れた数字はルートの外に出す

    2のペアが1つ出来たので、この2はルートの外に出せる。

    ペアでない2はルートの中に残る。
    従って、\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

  • ステップ3
    答えに\(\pm\)をつける

    最後に±をつけると、求める平方根は\(\pm2\sqrt{2}\)になります!

以上より、答えは\(\pm2\sqrt{2}\)です。

問題3|15の平方根を求めよ

15の平方根を求める方法
  • ステップ1
    ルートをつけて素因数分解する

    ルートを付けて\(\sqrt{15}\)
    15を素因数分解すると、\(3\times5\)

  • ステップ2
    ペアを作れた数字はルートの外に出す

    ペアが出来ないので、ルートの外に出せる素因数はありません。

  • ステップ3
    答えに\(\pm\)をつける

    従って、\(\sqrt{15}\)から形は変わらない。
    最後に±をつけると、求める平方根は\(\pm\sqrt{15}\)

以上より、答えは\(\pm\sqrt{15}\)です。

2の平方根の求め方|手計算

最後に手計算で平方根を求める方法です。
問題の中に、答えが\(\pm2\sqrt{2}\)になった問題がありました。(問題2)

もちろん、これで正解なのですが、せっかくなので\(\sqrt{2}\)をて計算で求めてみましょう。
2乗したら\(2\)になる値を探す作業です。


最初は整数で計算してみます。
例えば\(1^2=1\)で\(2^2=4\)ですよね。

つまり、\(1>\sqrt{2}>2\)であることがわかります。

次に\(1.5^2\)を計算するとどうでしょう。
\(1.5^2=2.25\)で\(2\)より大きいため\(1>\sqrt{2}>1.5\)だとわかりました。

では\(1.4^2=1.96\)です。
つまり、\(1.4>\sqrt{2}>1.5\)であることがわかりますね。

このように平方根を手計算で求めるには、2乗して\(2\)なる数を絞り込んでいく必要があり、非常に大変です。

平方根はおぼえておくとべんりですよ!

>>平方根の覚え方<<

まとめ

平方根を求めるには、3つのステップがある。
1:ルートをつけて素因数分解をする
2:ペアが作れた数字はルートの外に出す
3:±をつける
である。

平方根には、3つのタイプがある。
1:全ての素因数がペアになり、全てルートの外に出せるタイプ(問題1)
2:一部の素因数のペアが出来なく、ルートの外に出せる素因数とルートの中に残る素因数があるタイプ(問題2)
3:素因数のペアが全く出来なく、ルートの外に出せる素因数が無いタイプ(問題3)
である。

今回は以上です!

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