今回のテーマは『方程式』です。
方程式は数学のジャングルを歩くときのコンパスです！とっても重要。方程式がわかっていないと、今後習う数学の６割以上が解けなくなります。数学苦手さんは方程式が苦手なことも多いですね。
方程式の基礎から解説しましたので、数学苦手さんにならないためにも、最後まで読んでもらえると嬉しいです！
九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します！
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方程式とは
まずは「https://rikeinvest.com/math/shiki/hoteishikitoha/そもそも方程式って何？」ってとこから解説していきます。
方程式とは
方程式とは、「わかっていない数を文字で表した等式」のことです。
例えば、\(3x-5=10\)のような感じ。
\(x\)が何だったら、この等式が成り立つかなーって考えるのが方程式です。
小学生の算数だと、\(3\times □-5=10\)とか書いてたと思いますが、数学的に書くと文字式を使います。
\(□\)が\(x\)になっていますが、本質的にやることは変わらないので、必要以上に怖がることはありませんよ！
解とは
\(3x-5=10\)の\(x\)が何かなーって求めることを方程式を解くと言います。
そして、求めた\(x\)を方程式の解（かい）と呼びます。
\(3x-5=10\)の方程式の解は\(5\)である
用語自体は暗記する必要はありません。
しかし、問題文で「次の方程式を解け」とか「次の方程式の解を求めよ」とか書かれるので、用語は知っておきましょう！
方程式を解く準備｜等式の性質
では、方程式を解いていきましょう！と言いたいのですが、方程式を解くための武器を手に入れましょう。
それが等式の持つ４つの性質です。
両辺に同じ数を足す・引く・掛ける・割るしてもいいって性質です。
具体例を使いながら、１つずつ解説していきます！
同じ数を足しても良い
両辺に同じ数を足しても等式は成り立ちます。
$$A=B\ \rightarrow\ A+C=B+C$$
このように、両辺に同じ数を足しても等式は成り立ちます。
使い方
使い方としては、左辺から数の項を消すために使います。
（後ほど移項という便利な方法を紹介しますが、基本的なところなので解説しますね！）
方程式を解くには\(x=2\)みたいな形にする必要があります。
\(x-5=10\)だと、左辺にある\(-5\)が邪魔ですよね笑
なので両辺に\(5\)を足して、左辺に\(x\)しか残らないようにして方程式を解きます。
\begin{eqnarray}\\ x-5&=& 10 \\
x-5+5&=& 10+5\\
x&=&15\\
\end{eqnarray}
これで\(x\)を求められましたね。
同じ数を引いても良い
足しても良いと同様に、両辺から同じ数を引いてもOKです。
$$A=B\ \rightarrow\ A-C=B-C$$
使い方
この性質の使い方も基本的には足し算と同じです。
\(x+6=14\)という方程式があったとき、左辺の邪魔な\(6\)を消していきます。
\begin{eqnarray}\\ x+6 &=& 14 \\
x+6-6&=& 14-6\\
x&=&8\\ \end{eqnarray}
今は簡単な方程式ですが、分数やかっこが加わってややこしい方程式になったとき、これらの性質が活きるので頑張りましょう！あと２つです。
同じ数を掛けても良い
両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立ちます。
$$A=B\ \rightarrow\ A\times C=B\times C$$
使い方
かけ算は分数や小数を整数に直したいときに使います。
\(\displaystyle \frac{2}{3}x+4=6\)だったら両辺に\(3\)を掛ける感じです。
\begin{eqnarray}\\ \displaystyle \frac{2}{3}x+4&=&6 \\
\left( \displaystyle \frac{2}{3}x+4\right)\times3 &=&6\times3\\\\
\displaystyle \frac{2}{3}x\times3+4\times3&=& 18\\
2x+12&=&18\\
2x+12-12&=&18-12\\
2x&=&6\\
x&=&3 \\\end{eqnarray}
両辺に\(3\)を掛けるとき、左辺全体に掛けるので分配法則を使っています。
0以外の同じ数で割っても良い
最後は割り算です。
両辺を同じ数で割っても等式は成り立ちます。
$$A=B\ \rightarrow\ \displaystyle \frac{A}{C}=\displaystyle \frac{B}{C}$$
ただし、割り算は注意事項があります。
『\(0\)で割ってはいけません！』言い換えると\(C=0\)はダメです。
これは数学のルールで、\(0\)で割るのが禁止されているからです。
詳しくはこちらの記事をご参照ください。
使い方
割り算は\(x\)の係数を消したいときに使えます。
\(4x-9=7\)だと\(x\)の係数の\(4\)で割って\(x\)を作ります。
\begin{eqnarray} \\4x-9 &=& 7 \\
4x-9+9&=&7+9 \\
4x&=& 16\\
4x\div4&=&16\div4\\
x&=&4 \\\end{eqnarray}
式では\(4\)で割っていますが、\(\displaystyle \frac{1}{4}\)を掛けると言い換えることもできますよ！
方程式の解き方
等式の性質を４つ見てきたので、いよいよ方程式の解き方です。
いくつか問題を解いていきましょう。
今回は４種類の方程式の問題を用意しました。
１つずつ解説していきますね！
方程式の解き方｜移項を使って解く
最初は移項を使って解く方法です。
移項とは
移項とは、等式の一方の辺にある項は符号を変えれば、他方の辺に移動できることです。
移項は等式の性質の『同じ数を足しても良い』と『同じ数を引いても良い』の応用版です。
\begin{eqnarray} x-3 &=& 2 \\
x&=&2+3\\
x&=& 5 \end{eqnarray}
このように、両辺に\(3\)を足して計算せずに、符号を変えて左辺から右辺に移動できる便利な方法です。
数学では移項を使って解くことが多いので、慣れていきましょう。
もちろん最初は両辺に\(3\)を足して計算してもOKですよ！慣れたら移項を使いましょうね。
問題に入る前に一次方程式を解く手順をまとめたので、参考にしてください。
問題
(1) \(x-9=3\)
(2) \(2x+3=5\)
(3) \(3x+5=-10\)
解答と解説
(1) \(x=12\)
\begin{eqnarray} x-9 &=& 3 \\ x&=& 3+9\\x&=&12 \end{eqnarray}
(2) \(x=1\)
\begin{eqnarray} 2x+3 &=& 5 \\
2x &=& 5-3\\
2x&=&2\\
x&=&1\end{eqnarray}
(3) \(x=-5\)
\begin{eqnarray} 3x+5 &=& -10 \\
3x&=&-10-5\\
3x &=& -15\\
3x\div3&=&-15\dov3\\
x&=&-5 \end{eqnarray}
問題なく解けましたか？質問があったら、コメントやTwitterでいつでもお待ちしています！
方程式の解き方｜かっこがある場合
かっこがある方程式を解くときは、最初にかっこを外してから解きましょう！
問題
(1) \(2(2x+4)=3x-5\)
(2) \(3(x+4)=-(-x+2)\)
解答と解説
(1) \(x=-13\)
\begin{eqnarray} 2(2x+4)&=3x-5 \\
4x+8 &= 3x-5\\
4x-3x&=-5-8\\
x&=-13 \end{eqnarray}
(2) \(x=-7\)
\begin{eqnarray}
3(x+4)&=-(-x+2) \\
3x+12 &= x-2\\
3x-x&=-2-12\\
2x&=-14\\
x&=-7 \end{eqnarray}
\(3x-x\)には文字式の計算が必要ですね！
方程式の解き方｜小数がある場合
小数がある方程式の場合は\(10\)や\(100\)を両辺にかけて、整数にしてから計算しましょう！
両辺に同じ数を掛けても良いので、小数は調整がしやすいですね！
問題
(1) \(0.3x-1=0.2x-0.4\)
解答と解説
(1) \(x=6\)
\begin{eqnarray}
0.3x-1&=0.2x-0.4 \\
10(0.3x-1)&=10(0.2x-0.4)\\
3x-10&= 2x-4\\
3x-2x&=-4+10\\
x&=6 \end{eqnarray}
方程式の解き方｜分数がある場合
最後は分数がある場合の方程式です。分数がある場合は両辺にある分数の分母の最小公倍数をかけて、全て整数にしてから計算しましょう！
問題
(1) \(\displaystyle \frac{5}{8}x=\displaystyle \frac{3}{4}x-1\)
解答と解説
(1) \(x=8\)
\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{5}{8}x&=\displaystyle \frac{3}{4}x-1\\
\displaystyle \frac{5}{8}x\times8 &=\left( \displaystyle \frac{3}{4}x-1\right)\times8 \\ 5x&= 6x-8\\
5x-6x&=-8\\
-x&=-8\\
x&=8 \end{eqnarray}
ザーッと問題を見てきましたが、解けましたか？コメント、Twitterでいただいた質問には全部回答しているので、わからない所は気軽に聞いてくださいね！
方程式の利用（文章題）
ここからは方程式の利用です。
これまで方程式解いてきたけど、じゃあなんに使えるのー？って部分です！
【問題】方程式の利用｜文章題
実際に問題を解いてみましょう！
スーパーで1個\(300\)円のキャベツと、1個\(200\)円のブロッコリーを合わせて8個買うと、代金が\(1900\)円になりました。
（１）キャベツを買った個数を\(x\)として、方程式を立てなさい。
（２）方程式を解いて、ブロッコリーを買った個数を求めなさい。
【解答】方程式の利用｜文章題
先に答えを書くと、$$300x+200(8-x)=1900$$です。では解説していきます。
(1) は方程式を立てる問題です。
まずは、キャベツを買った個数を\(x\)とするので、ブロッコリーを買った個数を\(x\)を使った文字式で表すと何個だろう？と考えます。
答えは\(8-x\)個です。
キャベツとブロッコリー合わせて\(8\)個。キャベツは\(x\)個買ったので、\(8-x\)がブロッコリーの個数になります。
方程式を作る
では出てきた材料を元に方程式を作ってみましょう。
キャベツは1個\(300\)円なので、キャベツの代金は\(300x\)円です。
1個の金額に個数をかけています。
ブロッコリーは1個\(200\)円なので、ブロッコリーの代金は\(200(8-x)\)円です。
これらを足した支払いの代金は\(1900\)円なので、足した数と\(1900\)を使って等式を作れます。
$$300x+200(8-x)=1900$$
これが(1)の答えです。
(2)の答えはこの方程式を解いて求めていきます。
\begin{eqnarray} 300x+200(8-x) &=1900 \\
300x+1600-200x&=1900\\
300x-200x &= 1900-1600 \\
100x&=300\\
x&=3 \end{eqnarray}
答えは\(3\)ではないので注意です！
問題文には『ブロッコリーを買った個数を求めなさい』とあります。
この\(x=3\)はキャベツの個数です！
ブロッコリーは\(8-x\)個買っているので、答えは\(8-3=5\)で5個になります。
何を\(x\)と置いて、どうやって方程式を立てるか。この辺りは練習量が物を言う世界なので、問題集を使ってたくさん解いていきましょう！問題集はこのシリーズがオススメです！
基礎の基礎から学べるので、応用問題が出てきても、対処できるようになりますよ！
方程式の利用（比例式）
最後は方程式の利用（比例式）です。
比例式とは、「２つの比が等しいことを表す式」です。
$$A:B=C:D$$
このような式です。
$$A:B=C:D\ \rightarrow\ AD=BC$$
が成り立ちます。\(A:B=C:D\)だと、\(\displaystyle \frac{A}{B}=\displaystyle \frac{C}{D}\)が成り立つので、両辺に\(BD\)を掛けると、\(AD=BC\)となります。
【問題】比例式
何問か問題を解いてみましょう。
(1) \(6:5=x:10\)
(2) \(9:3=3x:5\)
(3) \(6:(x+1)=2:1\)
【解答】比例式
(1) \(x=12\)
\begin{eqnarray} 6:5&=x:10\\
5x &= 60 \\
x&=& 12 \end{eqnarray}
(2) \(x=5\)
\begin{eqnarray} 9:3&=3x:5 \\
45&= 9x \\
x &=& 5 \end{eqnarray}
(3) \(x=\)
\begin{eqnarray} 6:(x+1)&=2:1\\
6&=2(x+1) \\
2x+2&=6\\
2x&=6-2 \\
2x&=4\\
x&=2 \end{eqnarray}
最後に比例式を使う文章題を解いてみましょう！コラボレーションです！
【問題】比例式を使う文章題
料理をするとき、酒\(100ml\)に対して、みりん\(180ml\)を入れると記載があった。使うみりんが\(720ml\)の時、酒を何\(ml\)入れれば良いか求めよ。
【解答】比例式を使う文章題
求めたい値は酒の量なので、みりんを\(720ml\)使うときの酒の量を\(x\)と置きます。
\(100:180=x:720\)という式を作れます。
方程式にすると、\(180x=720\times100\)です。
\(180x=72000\)より、\(x=400\)となります。
よって答えは\(400ml\)です！
方程式は練習すれば絶対解けるようになるので、頑張りましょう〜
今回は以上です！
