一次関数のグラフの書き方と求め方|分数の場合も問題を使って解説

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一次関数のグラフの書き方

一次関数のグラフは直線です。

1つの点を通る直線はいくつもありますが、2つの点を通る直線は1つしかありません。

一次関数のグラフを書く時には、“2つの点を決める”を意識しましょう。
2つの点を決めて一時関数のグラフを書くのは次の3ステップで実施できます。

  1. 切片の点を求める
  2. 切片以外の1点を求める
  3. 2点を結ぶ

1つずつみていきましょう。

切片の点を求める

一次関数の式は、

y=ax+b

y=ax+bです。 

bの値が切片になります。

切片はy軸との交点、つまりx座標が0のときのy座標の値が切片になります。

切片以外の1点を求める

切片以外の1点を求めるには、一次関数の式y=ax+bに適当な数字を入れて求めます。

y=3x+4の式では、xに2を代入するとy=3\times2+4 y=10となります。

このグラフは、$(2,10)$を通ります。

xに大きな数字を入れてしまうと、座標がグラフからはみ出してしまうことがあるので注意してください。

一時関数の式から2点を求める

y=5x+8のグラフで2点を求めてみます。

切片 xに0を代入すると y=5\times0+8 y=8になり$(0,8)$を通ります。

切片以外の点 xに1を代入すると y=5\times1+8 y=13になり$(1,13)$を通ります。

y=5x+8のグラフは、$(0,8)$と$(5,13)$を通るグラフだとわかります。

傾きが分数の場合

$y=\displaystyle \frac{3}{4}x-5$の式では、切片は$(0,-5)$になります。

傾きが分数の式で切片以外の1点を求めるとき、xに代入する数は分母の倍数を入れます。

この式の場合は、4の倍数である4や8を代入します。

xに4を代入すると、
$y=\displaystyle \frac{3}{4}\times4-5$より$y=-2$となります。

以上より、$y=\displaystyle \frac{3}{4}x-5$のグラフは、切片$(0,-5)$と$(4,-2)$を通る直線だとわかります。

グラフから式を求める問題

グラフ内の2つの座標が決まると直線の式が求められます。

切片がわかっている場合

切片と1点から一次関数を求める

上の図の直線の式を求めてみましょう。
切片は、y軸との交点でしたね。

図を見るとグラフがy軸との交点$(0,5)$を通っていることから、切片は5であることがわかります。

この時点で$y=ax+5$の直線となります。
もう1つの点$(4,17)$を式に代入すると

$17=4a+5$となり、$a=3$

以上より直線の式は、$y=3x+5$となります。

連立方程式でもとめる

2点から連立方程式で一次関数を求める

図を見ると、$(-3,4)$と$(1,-4)$を通る直線だということがわかります。

直線の式$y=ax+b$に2つの点を代入すると

\begin{cases}
4&=&-3a+b\\
-4&=&a+b
\end{cases}

となり、この連立方程式を解くと、$a=-2,b=-2$となります。
以上より、グラフの式は、$y=-2x-2$ となります。

傾き$(=変化の割合)$を求めて解く

変化の割合から一次関数を求める

図より$(-1,-8)$と$(4,2)$を通る直線だということがわかります。
まずは、2つの点から傾き$(=変化の割合)$を求めましょう。

$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$の式に代入して求めます。

$$変化の割合=\displaystyle \frac{2-(-8)}{4-(-1)}=2$$

傾き$(=変化の割合)$が2となります。

直線の式$y=ax+b$の$a$に$2$を代入すると、$y=2x+b$となります。

この式に$(4,2)$を代入して$b$の値を求めます。
ちなみに$(-1,-8)$を代入しても同じ値を求められます。

計算が簡単そうな座標を代入するとミスが減りますよ。

$2=2\times4+b$より、$b=-6$となり、
直線の式は$y=2x-6$になります。

ここからの作業はとても大事です

さきほどbを求めるのに使わなかった座標$(-1,-8)$の$x座標の-1$を

$y=2x-6$に代入してみます。

$y=2\times(-1)-6
$y=-8$となりちゃんと$(-1,-8)$を通ることがわかります。

式を求めたあと、グラフ上の2点をきちんと通るのか確認する作業を行うようにしてくださいね。

練習問題

問題

図の①、②の直線の式を求めなさい。

解答

① $y=-\displaystyle \frac{5}{4}x-3$

② $y=-\displaystyle \frac{8}{7}x-\displaystyle \frac{10}{7}$

解説

①の解説|切片から解く場合

切片$(0,-3)$を通っているので$y=ax-3$となります。 

もう一つの点$(-4,2)$を代入します。

$2=a\times(-4)-3$
$a=-\displaystyle \frac{5}{4}  

以上より、$y=-\displaystyle \frac{5}{4}x-3$となる。

②の解説|連立方程式で解く場合

$y=ax+b$に$(-4,-6)$と$(3,2)$を代入します。

\begin{cases}
-6&=&-4a+b\\
2=3a+b
\end{cases}

この連立方程式を解いて解くと、\(a=\displaystyle \frac{8}{7},\ b=-\displaystyle \frac{10}{7}\)となります。

以上より、$y=-\displaystyle \frac{8}{7}x-\displaystyle \frac{10}{7}$となります。

②の解説2|変化の割合で解く場合

傾き$(=変化の割合)$を出して求める場合

で傾き$(=変化の割合)$が求められましたね。

$(-4,-6)$と$(3,2)$で変化の割合を求めると下記の通りになります。

$$変化の割合=\displaystyle \frac{2-(-6)}{3-(-4)}=\displaystyle \frac{8}{7}$$

つまり傾きは$\displaystyle \frac{8}{7}$になります。
ここで、$y=\displaystyle \frac{8}{7}x+b$に$(3,2)$を代入します。

もちろん$(-4,-8)$を代入しても求められます。

$2=\displaystyle \frac{8}{7} \times3+b$より、
$b=-\displaystyle \frac{10}{7}$となります。

以上より、 $y=-\displaystyle \frac{8}{7}x-\displaystyle \frac{10}{7}$となります。

まとめ

一次関数のグラフを書くときもグラフから直線の式を求めるときも2点をはっきりさせることが大事です。

切片の特徴は以下のようなものがあります。

  1. $y=ax+b$で$b$の部分が切片の値になる
  2. 座標は$(0、b)$になるy軸との交点である

一次関数の式で傾きが分数の場合は、分母の倍数をxに代入してyの値を求めます。

グラフ上の2点から直線の式を求めるときには、2つの方法があります。

  1. 連立方程式を使う
  2. 傾き$(=変化の割合)$を求める

最後に導き出した式が、グラフ上の2点をきちんと通るか確認するようにしましょう。

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