一次関数の式の求め方|厳選された7つの方法

一次関数の式は、\(y=ax+b\)です。
つまり、\(a\)と\(b\)がわかれば、一次関数の式を求めたと言えます。

求め方のパターンは無数に存在しますが、今回は重要な7つのパターンに厳選して、一次関数の式を求める方法を紹介します。

全てのパターンで例題も用意していますので、ぜひ最後まで読んでみてください!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
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一次関数の基本

最初に少しだけ一次関数の基本に触れておきます。

一次関数の\(y=ax+b\)で、\(a\)は傾き、\(b\)が切片を表します。
一次関数の場合、傾きと変化の割合は同じです。

変化の割合だけを求める問題も多くありますから、こちらの記事も参考にされてください。

>>一次関数の変化の割合の求め方<<

一次関数の求め方|厳選された6つの方法

それでは具体的に7つの求め方を確認していきましょう。

  1. 傾きと切片から
  2. 傾きと1点から
  3. 切片と1点から
  4. 変化の割合と1点から
  5. 2点から
  6. 増加の値と1点から
  7. 減少の値と1点から

傾きと切片から解説します!

一次関数の求め方1|傾きと切片から

問題

傾きが4で切片が7の一次関数の式を求めよ

解答

\(y=4x+7\)

解説

一次関数の傾きと切片がわかっている場合は、すでに求められているのと同じです。
間違えないように\(a\)と\(b\)の部分に代入してください。

問題の傾きが4で切片が7の一次関数の式は、a=4、b=7です。
よって、

$$y=4x+7$$

となります。

一次関数の求め方2|傾きと1点から

問題

傾きが\(6\)で点\((4,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めよ

解答

\(y=6x-14\)

解説

傾きが\(6\)で点\((4,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めます。

\(y=ax+b\)の式に傾き\(6\)を代入します。
すると\(y=6x+b\)になります。

次に\(x\)に\(4\)、\(y\)に\(10\)を代入すると、\(10=6×4+b\)という式が得られます。
この方程式を解くと\(b=-14\)だとわかります。

方程式の途中式はこちら

\begin{eqnarray}
10&=&6×4+b\\
10&=&24+b\\
-b&=&24-10\\
-b&=&14\\
b&=&-14
\end{eqnarray}

以上より一次関数の式は、\(y=6x-14\)になります。

一次関数の求め方3|切片と1点から

問題

切片が5で点\((1,\ 3)\)を通る一次関数の式を求めよ

解答

\(y=-2x+5\)

解説

切片が5で点\((1,\ 3)\)を通る一次関数の式を求めます。

\(y=ax+b\)の式に切片\(5\)を代入します。
切片は\(b\)なので、\(b=5\)としましょう。 

\(y=ax+5\)になります。

次に\(x\)に\(1\)、\(y\)に\(3\)を代入します。

\(3=a×1+5\)となり、\(a=-2\)となります。
途中式は下記の通りです。

\begin{eqnarray}
3&=&a×1+5\\
3&=&a+5\\
-a&=&5-3\\
-a&=&2\\
a&=&-2
\end{eqnarray}

以上より、一次関数の式は\(y=-2x+5\)になります。

一次関数の求め方4|変化の割合と1点から

問題

変化の割合が7で点\((2,\ 6)\)を通る一次関数の式を求め

解答

\(y=7x-8\)

解説

変化の割合が7で点\((2,\ 6)\)を通る一次関数の式を求めます。
一次関数の場合、傾きと変化の割合は同じですので、\(a=7\)になります。

\(y=ax+b\)の式の\(a\)に\(7\)を代入します。
すると、\(y=7x+b\)になります。

次に\(x\)に\(2\)、\(y\)に\(6\)を代入します。
\(6=7\times2+b\)となり、\(b=-8\)となります。

途中式は下記の通りです。

\begin{eqnarray}
6&=&7\times2+b\\
6&=&14+b\\
-b&=&14-6\\
-b&=&8\\
b&=&-8
\end{eqnarray}

以上より、一次関数の式は\(y=7x-8\)となります。

一次関数の求め方5|2つの点から

問題

点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式を求めよ。

解答

\(y=3x+10\)

解説

一次関数の応用問題では、この2点から一次関数の式を求めるケースがたくさん出てきます。
求め方は2つあります。

  1. 連立方程式使って求める方法
  2. 傾きを出してから求める方法

この2つの方法で解説していきます。

点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式を求めます。
書き方としては、
「x=2のときy=16、x=4のときy=22となる一次関数の式を求めます。」と同じです。

連立方程式使って求める方法

一次関数の式\(y=ax+b\)に2つの点の\(x\)と\(y\)を代入して、2式を立てます。
この2式を連立方程式にします。

\begin{cases}
16&=&2a+b\cdots①\\
22&=&4a+b\cdots②\end{cases}

上記の連立方程式を解くと

\begin{eqnarray}
4a+2b&=&32&\cdots&①'(①\times2)\\
4a+b&=&22&\cdots&②\\
10&=&b&\cdots&①’-②\\
16&=&2a+10&\cdots&①(b=10を代入)\\
a&=&3\\
\end{eqnarray}

となり\(a\)と\(b\)が求まります。

\begin{cases}a=3\\b=10\end{cases}

以上より、一次関数の式は\(y=3x+10\)となります。

傾きを出してから求める方法

次に傾きを先に出してから、一次関数の式を求める方法を解説します。

まず、変化の割合の式から変化の割合(傾き)を求めます。

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

\begin{eqnarray}
変化の割合&=&\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\\\\
&=&\displaystyle \frac{22-16}{4-2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{6}{2}\\\\
&=&3\end{eqnarray}

傾き\(3\)を\(y=ax+b\)の式に代入します。
すると、\(y=3x+b\)となります。

次に点\((2,\ 16)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。
※このとき、点\((4,\ 22)\)を代入しても大丈夫です。

計算が簡単そうな点の方を代入するのがおすすめです。

\((2,\ 16)\)を\(x\)と\(y\)に代入すると、\(16=3×2+b\)となり、\(b=10\)になります。

以上より、一次関数の式は\(y=3x+10\)となります。
どちらの解き方でもy=3x+10になりました。

一次関数の求め方6|増加の値と1点から

問題

\(x\)の増加量が\(5\)で\(y\)の増加量が\(30\)で、点\((5,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めよ

解答

\(y=6x+20\)

解説

\(x\)の増加量が\(5\)で\(y\)の増加量が\(30\)で、点\((5,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めます。
一次関数では傾きと変化の割合は同じなので、下記の式で求めることができます。

$$傾き=変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

傾きを計算すると下記のようになります。

\begin{eqnarray}
傾き=\displaystyle \frac{30}{5}=6
\end{eqnarray}

傾きが\(6\)だとわかりました。
傾き\(6\)を\(y=ax+b\)の式の\(a\)に代入します。

すると、\(y=6x+b\)が得られます。

次に点\((5,\ 10)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。

\(10=6×5+b\)が得られ、一次方程式を解くと\(b=20\)になります。

以上より、一次関数の式は\(y=6x+20\)となります。

xやyが減少する場合も同じように考えて大丈夫です。

一次関数の求め方7|減少の値と1点から

xの増加量が3でyの減少量が24で、点\((4,\ -20)\)を通る一次関数の式を求めます。
yの減少量24は「-24増加している」と考えてください。

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

ですので、

\begin{eqnarray}
変化の割合&=&\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量} \\\\
&=&\displaystyle \frac{-24}{3}\\\\
&=&-8\end{eqnarray}

一次関数では変化の割合と傾きが同じなので、\(a=-8\)となります。

傾き\(-8\)をy=ax+bの式に代入すると、y=-8x+bとなります。

次に点\((4,\ -20)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。

\begin{eqnarray}
-20&=&-8×4+b\\
-20&=&-32+b\\
32-20&=&b\\
-b&=&-12\\
b&=&12
\end{eqnarray}

となるため、\(b=12\)だと分かります。

以上より、一次関数の式は\(y=-8x+12\)となります。

一次関数の式の求め方|検算

点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式の問題を使って検算のやり方を紹介します。
求めた式が本当に点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る式になっているかの確認です。

\(y=3x+10\)の\(x\)に\(2\)を代入すると、\(y=3×2+10\)となり\(y=16になります。

同じように

y=3x+10のxに4を代入すると、y=3×4+10となりy=22になります。

この確認作業とても大切です。

面倒に思わず行うようにしてくださいね。

まとめ

一次方程式の式の求め方を7つ紹介してきました。
7つの解き方の共通して知っておくべきことは、この2つです。

  1. 一次関数の式\(y=ax+b\)でaが傾き(変化の割合)、bが切片を表すこと。
  2. 傾き(変化の割合)は下記の式で表すこと

$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$

2点を通る一次関数の式を求める場合、導き出した一次関数の式がきちんと2点を通るか確認することも忘れないでください。

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