因数分解をわかりやすく中学生に解説!

今回は中学校で習う因数分解の解説です。

中学生向けに因数分解の公式や覚え方、難問の解き方をわかりやすく解説しました!

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共通因数をくくりだす因数分解

因数分解_中学生向け_共通因数

最初に因数分解の基礎である「共通因数をくくりだす因数分解」を紹介します。
共通因数とは同じ文字や数字のことです。

例えば\(3ab+15bc\) の因数分解を考えてみます。

共通因数をくくり出すために数字を素因数分解します。
3はこれ以上分解できません。\(15\)は\(3\times5\)に分解できます。

従って、\(3ab+15bc=3ab+3\times5bc\)と変形できます。
共通している部分は\(3b\)なので、共通因数は\(3b\)です。

共通因数をくくり出すと、\(3ab+15bc は 3ab+15bc=3b(a+5c)\) に因数分解できます。

因数分解の公式4選

因数分解_中学生向け_4つの公式

因数分解の代表的な公式を4つ紹介します。
公式1:\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
公式2:\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
公式3:\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
公式4:\(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

時間があれば右辺を展開して、左辺になることを確認してみてくださいね。

公式1はたすきがけの公式でもあります。
たすきがけは因数分解の重要な解き方なので、しっかり理解しておきましょう。

公式が使えるかの判断基準

公式2と公式3が使えるかどうかの判断基準は、
(1)\(x\)の係数が2で割れる事、(2)定数項が\(x\)の係数を2で割った数の二乗になっている事です。
公式4が使えるかどうかの判断基準は、
(1)\(x\)の項がない事、(2)定数項が二乗の形で表せる事、(3)定数項がマイナスである事です。

因数分解の4つの公式はできれば暗記しておきましょう!
因数分解の問題を解く時間がかなり早くなりますよ。

因数分解公式の簡単な覚え方

では4つの因数分解の簡単な覚え方を紹介します。
覚え方は、まずは公式1と公式4だけ覚える。です!

公式1を覚えておけば、公式2と公式3は簡単に導くことができます。
公式4だけは少し特殊なので、このまま覚えたほうがいいですね。

あとは何度も問題を解くことで、「あっ!これ公式2だ」と自然と思い浮かぶようになります。

それでは実際に因数分解の問題を解いてみましょう!

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因数分解の問題|難問あり!

問題1

\(x^2+10x+25\)を因数分解せよ。

\(x\)の係数が2で割れて5であり、定数項が5の二乗になっています。
よって、公式2が使えるので、\(x^2+10x+25=(x+5)^2\)となります。

問題2

\(x^2-81\)を因数分解せよ。

\(x\)の項がなく、定数項が9の二乗になっています。
よって、公式4が使えるので、\(x^2-81=(x+9)(x-9)\)となります。

問題3

\(x^2-16x+64\)を因数分解せよ。

\(x\)の係数が2で割れて8であり、定数項が8の二乗になっています。
また、\(x\)の係数がマイナスです。
よって、公式3が使えるので、\(x^2-16x+64=(x-8)^2\)となります。

問題4

\(x^2-5\)を因数分解せよ。

\(x\)の項がなく、定数項が\(\sqrt{5}\)の二乗になっています。
また、\(x\)の係数がマイナスです。
よって、公式4が使えるので、\(x^2-5=(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})\)となります。

難問1

\(x^3+4x^2-9x-36\)を因数分解せよ

答え:\((x+3)(x-3)(x+4)\)

まずは、共通因数をくくります。
\(x(x^2-9)+4(x^2-9)\)

次に、再び共通因数をくくります。
\((x^2-9)(x+4)\)

最後に、公式に従って因数分解すると答えになります。
\((x+3)(x-3)(x+4)\)

難問2

\(x^2-x-210\)を因数分解せよ

答え:\((x-15)(x+14)\)

最初に素因数分解することで、何と何を掛けると\(210\)になるか把握します。

\(210=2\times3\times5\times7\)です。

この中から2つの数字を作るのですが、2つの数字の差が1になるようにします。
これは問題の\(x\)の係数が\(-1\)だからです。

\(2\times7=14\)で、\(3\times5=15\)なので、差が1の2つの数は\(14\)と\(15\)になります。
もちろん\(14\times15=210\)です。

以上より、\(x^2-x-210=(x-15)(x+14)\)となります。

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