【循環小数】表し方・分数する方法【スラスラ変換できるようになる!】

循環小数とは

循環小数とは\(0.33333\dots\)のように同じ数を無限に繰り返す小数のこと

(例)

\(0.256256256\dots\)や\(51.232323\dots\)など

この記事では循環小数について解説していきます!

この記事を読むと・・・

  • 循環小数とは何かが分かる!
  • 循環小数を分数に変換する方法がわかる!
  • 循環小数をスラスラと分数に変換できるようになる!

解説の後に問題を用意していますので、よかったら最後まで読んでみてください。

循環小数とは

循環小数とは\(0.33333\dots\)のように同じ数を無限に繰り返す小数のことです。

\(0.256256256\dots\)や\(51.232323\dots\)なども循環小数と呼びます。

循環小数の表し方

この循環小数ですが、数字の上にドットをつけて、循環する部分を表します。

循環小数の表し方

\(0.333\dots\)は\(3\)を繰り返すので\(3\)の上にドットをつけます。

$$0.3333\dots\ \rightarrow\ 0.\dot{3}$$

\(0.256256\dots\)ならば\(256\)を繰り返すので\(2\)と\(6\)の上にドットをつけます。

$$0.256256\dots\ \rightarrow\ 0.\dot{2}5\dot{6}$$

そして、\(51.2323\dots\)であれば、\(2\)と\(3\)の両方にドットをつけます。

$$51.2323\dots\ \rightarrow\ 51.\dot{2}\dot{3}$$

循環小数の表し方は繰り返す部分の頭とお尻にドットをつける!です。

循環節とは

1つ用語を紹介すると「循環節」という用語があります。

例えば\( 0.\dot{2}5\dot{6}\)だった場合、\(256\)を循環節と呼びます。

循環節とは

循環小数の繰り返す部分を循環節と呼ぶ。

(例)\( 0.\dot{2}5\dot{6}\)の\(256\)

循環小数を分数に変換する方法

循環小数は必ず分数に変換することができます。

「循環小数であれば有理数である」は成り立ちます。

実数\(n\)が循環小数で表せるとき\(n\)は有理数である。

(つまり、分数で表すことができる。)

では、実際に分数で表していきましょう。

例題

\(0.\dot{3}\)を分数で表せ。

まずは\(0.\dot{3}\)を分数で表します。

\(0.\dot{3}\)は循環節が1桁なので、\(10\)倍すると解けます。

循環節が2桁なら\(100\)倍、3桁なら\(1000\)倍と言った具合です。

では実際に解いていきましょう。

解答

\(n=0.\dot{3}\dots(1)\)とする。

両辺を\(10\)倍すると、

\(10n=3.\dot{3}\dots(2)\)

(2)から(1)を引くと、

\(9n=3\)

\(n=\displaystyle \frac{1}{3}\)

答え. \(0.\dot{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\)

基本的には全ての循環小数はこの方法で分数に直すことができます。

もう1問例題を解いてみましょう。

例題

\(11.\dot{2}5\dot{6}\)を分数で表せ。

循環節は\(256\)で3桁なので\(1000\)倍します。

解答

\(n=11.\dot{2}5\dot{6}\dots(1)\)とする。

両辺を\(1000\)倍すると、

\(1000n=11256.\dot{2}5\dot{6}\dots(2)\)

(2)から(1)を引くと、

\(999n=11245\)

\(n=\displaystyle \frac{11245}{999}\)

答え. \(11.\dot{2}5\dot{6}=\displaystyle \frac{11245}{999}\)

となります。

まとめ|循環小数

では、まとめです。(この後練習問題あります!)

  • 循環小数は同じ数を無限に繰り返す小数
  • 繰り返す数の頭とお尻にドットを付けて表す
  • 繰り返す範囲を循環節と呼ぶ
  • 循環小数は分数に変換できる
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練習問題|循環小数

練習問題

次の循環小数を分数に変換せよ。

(1)\(1.\dot{6}\)

(2)\(6.8\dot{3}\)

(1)\(\displaystyle \frac{5}{3}\)

(2)\(\displaystyle \frac{41}{6}\)

(1)循環節が1桁なので10倍して解く。

\(n=1.\dot{6}\)とすると、\(10n=16.\dot{6}\)となる。

2つの式の差を取ると、

\(9n=15\)となる。よって、\(n=\displaystyle \frac{5}{3}\)である。

(2)循環節が1桁なので10倍して解く。

\(n=6.8\dot{3}\)とすると、\(10n=68.\dot{3}\)となる。

2つの式の差を取ると、

\(9n=61.5\)となる。よって、\(n=\displaystyle \frac{615}{90}=\displaystyle \frac{41}{6}\)である。

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