二次方程式 解き方の見分け方|因数分解?解の公式?もう悩まない!

今回は二次方程式の解き方の見分け方です。
二次方程式は解き方がたくさんあります。

因数分解・平方完成・解の公式が代表的です。

解き方が多いと、どんな問題の時にどの解き方を使うのかわからない。
そんな質問をいただきましたので、解答していこうと思います!

この記事を読めば、二次方程式を解く時間がグッと短くなります。

ぜひ最後まで読んでみてください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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二次方程式の解き方一覧

二次方程式は下記の3通りの方法で解くことが出来ます。

方法1:平方完成

\((x+a)^2=b\) の形に変形できるとき、\(x+a=\pm\sqrt{b}\) より、 解は \(x=\pm\sqrt{b}-a\) となります。  

方法2:因数分解

\((ax+b)(cx+d)=0\) の形に因数分解できるとき、
解は \(ax+b=0\) より \(x=\displaystyle-\frac{b}{a}\)、また \(cx+d=0\) より \(x=\displaystyle-\frac{d}{c}\) となります。  

方法3:解の公式

二次方程式が \(ax^2+bx+c=0\) のとき、解の公式は \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) (ただし、\(b^2-4ac\geqq0\))です。
特に \(b\) が偶数の時、\(b=2b’\) と置くと、公式は \(\displaystyle\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) (ただし、\(b’^2-ac\geqq0\))です。  


解き方の見分け方

1:平方完成で解く問題の特徴

平方完成で解く問題の特徴は、二乗の形になっている、もしくは二乗の形に変形できることです。

一次式の二乗の形に変形できるとき、
例えば、 \((ax)^2=b\) や \((ax+b)^2=c\) の形の時、平方完成で解くことが出来ます。  

【例】
\(9x^2=25\), \((2x+3)^2=12\)など

2:因数分解で解く問題の特徴

因数分解で解く問題の特徴は、たすきがけで因数分解できることです。

たすき掛けより、\((ax+b)(cx+d)=0\) の形に変形できるとき、
\(ax+b=0\) また \(cx+d=0\) から解を求めることが出来ます。  

【例】
\(4x^2+11x+6=0\), \(x^2+6x-16=0\)など

3:解の公式で解く問題の特徴

解の公式で解く問題の特徴は、二乗の形にするのが難しそうで、因数分解もできないことです。

平方完成は、解の公式を導く手段ですから、時間を掛ければ平方完成に変形できます。
しかし、解の公式を使った方が早く解ける場合があります。
問題をパッとみて平方完成できそうになければ、解の公式を使いましょう。

因数分解は、たすき掛けが成立しなければ、分解できません。
こちらもパッとみて判断して、因数分解できなければ、解の公式を使用します。

見分けられないときは

問題を見た瞬間に、どの解き方を使ったらいいか見分けられないときは、解の公式を使用します。

特に \(x\) の項が偶数の時は、偶数の解の公式 \(\displaystyle\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) (ただし、\(b’^2-ac\geqq0\))使用します。

複雑な問題ほど計算時間の短縮が出来ます。
解の公式を使えば、二次方程式は必ず解くことが出来ます。

どの解法を使えばよいか迷ったら、即公式を使用して下さい。

下記の記事で解の公式を証明しているので、興味があれば読んでみてください。

>>解の公式<< 

まとめ

二次方程式は、平方完成、因数分解、解の公式を使う事で解くことが出来ます。

どの方法を使うかは、式を見て平方の形に変形できるか、因数分解できるかで判断します。

迷った場合は、解の公式を使用してください。
しかし、解の公式は計算量が多いので、先ず、平方完成あるいは因数分解が適用できないか、考えます。
判断に迷うのであれば、早めに解の公式を使用したほうが、判断に迷う無駄な時間が節約できます。

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