累乗根とは|累乗根の計算と性質

今回は累乗根について解説していきます。

累乗根は中学で習う平方根の発展バージョンです。
平方根が苦手だった人も問題なく理解できるように、わかりやすく解説しています。

最後まで読めば、累乗根で困ることはなくなりますので、ぜひ最後まで読んでみてください。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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平方根と立方根の復習    

平方根とは

平方根とは、2乗してその数になる数のことを言います。

例えば、4の平方根は$\pm \sqrt{4}$と表し、$\pm2$となります。

また、5の平方根は$\pm \sqrt{5}$となります。

このように、平方根は正負の2数が存在します。

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100のように何かの2乗の数の場合は、2乗する元の数を用いて、「±〇」という形で表します。

これら以外の数の場合は、「$\pm \sqrt{〇}$」の形で表します。

なお、$\sqrt{ }$は$\displaystyle \frac{1}{2}$乗で表すこともできます。

立方根とは

立方根とは、3乗してその数になる数のことを言います。

例えば、8の立方根は$\sqrt[3]{8}$と表し、2となります。

-8の立方根は$\sqrt[3]{-8}$と表し、-2となります。

5の立方根は$\sqrt[3]{5}$となります。

このように、立方根は実数の範囲の場合、1つの数で表されます。

(複素数の範囲まで扱う場合、立方根は3つの数で表されます。)

なお、$\sqrt[3]{ }$は$\displaystyle \frac{1}{3}$乗で表すこともできます。

n乗根と$\sqrt[n]{a}$

n乗根とは

n乗根とは、n乗してその数になる数のことを言います。

一般的に、aのn乗根は$\sqrt[n]{a}$と表します。

$\sqrt[n]{ }$は「nルート」という読み間違いが多いですが、正確には「n乗根」と読むので注意しましょう。

$\sqrt[n]{ }$は$\displaystyle \frac{1}{n}$乗で表すこともできます。

つまり、$\sqrt[n]{ }=a^{\frac{1}{n}}$と表すことができます。

(複素数の範囲まで扱う場合、aのn乗根はa個存在しますが、今回は省略します。)

n乗根の性質

実数の範囲で考えると、nが奇数のときは、aのn乗根は1つに決まり、$\sqrt[n]{a}$と表します。

例えば、n=5、a=6の時を考えてみます。

これは6の5乗根となり、$\sqrt[5]{6}$と表します。

また、n=5、a=-6の時を考えてみます。

これは-6の5乗根となり、$\sqrt[5]{-6}$と表します。

なお、n=5、a=32のとき、32の5乗根となり、$\sqrt[5]{32}$と表します。

ただし、32=$2^5$と表せるため、$\sqrt[5]{32}$=2となります。

同様に$\sqrt[5]{-32}$=-2となります。

また、nが偶数の時、a>0のときにaのn乗根は正負の2つあり、正の方を$\sqrt[n]{a}$と表し、負の方を$-\sqrt[n]{a}$と表します。

例えば、n=4、a=6の時を考えてみます。

これは、6の4乗根となり、$\pm \sqrt[4]{6}$となります。

このようにnが偶数の時、正負の2つ存在することになります。

なお、n=4、a=81のとき、81の4乗根となり、$\pm \sqrt[4]{81}$と表します。

ただし、81=$3^4$と表せるため、$\sqrt[4]{81}$=3となります。

累乗根とは|累乗根の性質           

累乗根の性質1

累乗根の性質をご紹介します。

a>0のとき、必ず$\sqrt[n]{a}$>0で$(\sqrt[n]{a})^n=a$となります。

n乗根はn乗するとその数になる数のことなので、$(\sqrt[n]{a})^n=a$になります。

例えば、$\sqrt[5]{3}^5=3$となります。

n乗根は$\displaystyle \frac{1}{n}$乗で表すこともできることを利用すると、$\sqrt[n]{a}=a^{\displaystyle \frac{1}{n}}$と表すことができます。

これを利用すると、

\begin{eqnarray}
(\sqrt[n]{a})^n
&=&(a^{\frac{1}{n}})^n \\
&=&a^{\frac{1}{n} \times n} \\
&=&a^1 \\
&=&a
\end{eqnarray}

と考えることもできます。

累乗根の性質2

続いて、累乗根の計算で利用できる性質についてご紹介します。

(a) $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

(b) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$

(c) $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\displaystyle \frac{a}{b}}$

(d) $\sqrt[n]{a^n}=a$

公式$a$の例

(a)のように同じn乗根の積はn乗根の中の数字の積にすることができます。

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$

公式$b$の例

(b)のようにn乗根のm乗はn乗根の中の数字のm乗にすることができます。

$(\sqrt[5]{2})^4 = \sqrt[5]{16}$

公式$c$の例

(c)のように同じn乗根の商はn乗根の中の数字の商にすることができます。

$\displaystyle \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{3}$

公式$d$の例

(d)のようにaのn乗のn乗根はaとなります。

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

累乗根の練習問題

[問題]

次の式を計算せよ。(n乗根の中身はできるだけ簡単にせよ)

(1) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2}$

(2) $\displaystyle \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}$

(3) $(\sqrt[4]{9})^2$

[解答]

(1)  $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2$

(2) $\displaystyle \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}=\sqrt[5]{\displaystyle \frac{-64}{2}}=\sqrt[5]{-32}=-2$

  • $(\sqrt[4]{9})^2=\sqrt[4]{81}=3$

[解説]

(1) の解説

性質(a)より3乗根の中の数字の積にできるため、$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}$となります。

次に、8=$2^3$であるため、$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}$となります。

最後に、性質(d)より$\sqrt[3]{2^3}=2$となり、答えが求められます。

(2) の解説

性質(c)より5乗根の中の商にできるため、 $\displaystyle \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}=\sqrt[5]{\displaystyle \frac{-64}{2}}$となります。

次に、-32=$(-2)^5$であるため、 $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^5}$となります。

最後に、性質(d)より$\sqrt[5]{(-2)^5}=-2$となり、答えが求められます。

(3) の解説

性質(b)より、指数は4乗根の中に入れてもよいため、$(\sqrt[4]{9})^2=\sqrt[4]{81}$となります。

次に、81=$3^4$であるため、$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}$となります。

最後に、性質(d)より$\sqrt[4]{3^4}=3$となり、答えが求められます。

まとめ

今回は、累乗根について扱いました。

一見複雑そうに見えますが、ほとんど中3でやった平方根の計算と同様になります。

新しく出てくる性質などをしっかり覚えると、簡単に計算できますよ。

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