【乗法公式・展開公式】中学生が覚えるべき公式5選【工学博士が解説】

乗法公式(展開公式)は試験中でも計算できますが、覚えておくと非常に便利です。

中学数学の基礎的な乗法公式から、高校レベルの結構難しい公式までまとめてみました。

かえるん
かえるん

乗法公式とか展開公式っていっぱいあって全部は覚えきれないや。まとめてあると便利で助かるなあ。例題で使い方も覚えたい!

こんな意見に応える記事を作成しました。

この記事を最後まで読めば、12個の展開公式はバッチリ使えるようになります!

(本記事は中学生Ver.です。高校生Ver.はこちら↓)

中学数学の乗法公式(展開公式)

  1. \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
  2. \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\)
  3. \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\)
  4. \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\)
  5. \((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)

高校数学の乗法公式(展開公式)

  1. \((x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3\)
  2. \((x-a)^3=x^3-3x^2a+3xa^2-a^3\)
  3. \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
  4. \((x+a)(x^2-xa+a^2)=x^3+a^3\)
  5. \((x-a)(x^2+xa+a^2)=x^3-a^3\)
  6. \((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^3\)
  7. \((a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^3\)

以上の12個の公式のうち中学数学の乗法公式(展開公式)を今回は解説しますね!

乗法公式(展開公式)|1

まずはこの展開公式からです。

手計算で展開していけば、この公式を求めることは簡単なので証明は省略します。

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

例題1

\((x+1)(x+2)=\)

$$x^2+3x+2$$

展開公式を使った解説

\(a=1,\ b=2\)なので、\(a+b=3,\ ab=2\)となる。よって展開公式より\(x^2+3x+2\)

2乗の乗法公式(展開公式)|2&3

2番目の公式は、1番目の公式と同じものと言っても過言ではありません。

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

この式の\(a=b\)の場合がこの2番目の公式となります。テスト中でも1番目の公式さえ覚えていれば導くことはできますが、2番目の公式も覚えておくことを推奨しています。

2. \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\)

例題2

\((x+3)^2=\)

$$x^2+6x+9$$

展開公式の\(a=3\)です。\(2a=6,\ a^2=9\)から求めることができます。

次は3番目の公式です。

こちらも1番目の公式の\(b=-a\)となった式なので、2番目の公式同様1番目の公式から求めることができますが、覚える方が楽で良いでしょう

3. \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\)

例題3

\((x−5)^2=\)

$$x^2-10x+25$$

3番目の展開公式に\(a=5\)を代入すれば解ける問題です。

\(2a=10,\ 5^2=25\)なので、\(x^2-10x+25\)となります。

乗法公式(展開公式)|4

4番目は\((x+a)(x-a)=x^2-a^2\)について例題を解いてみましょう。

例題4

\((x+5)(x-5)=\)

$$x^2-25$$

4番目の展開公式で\(a=5\)とすれば解けますね。

\(5^2=25\)なので答えは\(x^2-25\)となります。

乗法公式(展開公式)|5

中学生が知っておくべき乗法公式(展開公式)の最後になります。

例題5

\((3x+2)(2x+5)=\)

$$6x^2+(15+4)x+10=6x^2+19x+10$$

5番目の公式に\(a=3,\ b=2,\ c=2,\ d=5\)を代入すれば解ける問題です。

\(ac=6,\ ad=15,\ bc=4,\ bd=10\)なので、\(6x^2+(15+4)x+10\)となり、答えは\(6x^2+19x+10\)です。

乗法公式(展開公式)まとめ

  • 覚えるべき乗法公式(展開公式)は5つ
  1. \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
  2. \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\)
  3. \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\)
  4. \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\)
  5. \((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
  • 2と3の公式は1とほぼ同じだけど覚える価値があります。
  • 1−5の公式はテスト中に忘れてしまっても自力で計算が可能!
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