【高校数学】集合|命題の逆・対偶・裏をわかりやすく解説                              

今回は命題と集合の逆・対偶・裏をわかりやすく解説していきます。

前半は逆・対偶・裏とは何かについてわかりやすく解説して、後半で練習問題を解く構成になっています。
読むだけで必要な知識を定着できる構成になっています。

ぜひ最後まで読んでみてください

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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命題の逆・対偶・裏とは                                  

今回は、命題の逆・対偶・裏について説明していきます。
もとの命題を「\(P\)ならば\(Q\)である(\(P\rightarrow Q\))」とします。

具体例として、「\(x=2\)ならば\(x^2=4\)である」を考えます。

逆とは                             

命題の「逆」とは、\(P\)と\(Q\)を入れ替えた命題です。
つまり、「\(Q\)ならば\(P\)である\(Q\rightarrow P\)」となります。

具体例を用いると、「\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である」となります。

対偶とは                                  

命題の「対偶」とは、\(P\)と\(Q\)を入れ替え、それぞれを否定した命題です。
つまり、「\(Q\)でないならば\(P\)ではない(\(\overline{Q}\rightarrow\overline{P}\))」となります。

具体例を用いると、「\(x^2≠4\)ならば\(x≠2\)である」となります。

裏とは                             

命題の「裏」とは、\(P\)と\(Q\)をそれぞれを否定した命題です。
つまり、「\(P\)でないならば\(Q\)ではない(\(\overline{P}\rightarrow\overline{Q}\))」となります。

具体例を用いると、「\(x≠2\)ならば\(x^2≠4\)である」となります。

逆・対偶・裏の関係図と解説

逆・対偶・裏の関係図

図にあるように、命題の逆の裏、または裏の逆が対偶といえます。
\(P\rightarrow Q\)と\(\overline{P}\rightarrow\overline{Q}\)が対偶の関係になります。

また、もとの命題の逆\(Q\rightarrow P\)と裏\(\overline{Q}\rightarrow\overline{P}\)も対偶の関係といえます。
ここで重要となることは、「もとの命題と対偶の真偽は一致する」という事実です。
もとの命題が偽の場合は、対偶の命題も偽になり、さらに反例も一致します。

先ほどの例を用いて説明します。

もとの命題「\(x=2\)ならば\(x^2=4\)である」は、明らかに真です。

次に、対偶の命題「\(x^2≠4\)ならば\(x≠2\)である」を考えます。
否定が含まれているため大変考えづらいと思います。

しかし、先ほど述べた事実を用いると、もとの命題が真であるため、対偶の命題も真と言えます。
また、逆の命題「\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である」は、\(x=-2\)が反例となり、偽となります。

裏の対偶「\(x≠2\)ならば\(x^2≠4\)である」は、逆の命題と対偶の関係であるため、\(x=-2\)が反例となり、偽となります。

ただし、もとの命題と逆の命題、もとの命題と裏の命題に対しては、必ず真偽が逆になる関係はないので、ご注意ください。

逆・対偶・裏の問題3問                                  

問題1

命題「\(x≦2\)ならば\(x^2≦4\)である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。

解説

もとの命題の結論が計算できるため、計算します。
そうすると、「\(-2≦x≦2\)」となります。

したがって、\(x=-5\)が反例となり、もとの命題は偽となります。

次に、
「\(x^2≦4\)ならば\(x≦2\)である」
を考えます。

同様に\(x^2≦4\)は「\(-2≦x≦2\)」であるため、逆の命題は真となります。

続いて、
「\(x>2\)ならば\(x^2>4\)である」
を考えます。

これは、素直に解いてもいいのですが、裏の命題と逆の命題は対偶の関係にあるため、真偽は一致します。
したがって、裏の命題は真となります。

最後に、
対偶「\(x^2>4\)ならば\(x>2\)である」
を考えます。

これも、もとの命題の対偶なので、もとの命題と真偽が一致します。

したがって、対偶の命題は\(x=-5\)を反例として偽となります。

まとめると、

  • もとの命題:「\(x≦2\)ならば\(x^2≦4\)である」偽(反例\(x=-5\))
  • 逆:「\(x^2≦4\)ならば\(x≦2\)である」真
  • 裏:「\(x>2\)ならば\(x^2>4\)である」真
  • 対偶:「x^2>4ならばx>2である」偽(反例x=-5)

問題2

命題「△ABCが正三角形ならば、△ABCは二等辺三角形である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。

解説

もとの命題は、正三角形は全ての辺の長さが同じなので明らかに真となります。

次に、
「△ABCは二等辺三角形ならば、△ABCが正三角形である」
を考えます。

二等辺三角形であったとして、3辺の長さが\(4,\ 8,\ 8\)の三角形の場合、二等辺三角形ではあるが、正三角形とはいえないため、偽となります。

続いて、
「△ABCが正三角形ではないならば、△ABCは二等辺三角形ではない」
を考えます。

これは、素直に解いてもいいのですが、裏の命題と逆の命題は対偶の関係にあるため、真偽は一致します。

したがって、裏の命題は3辺の長さが\(4,\ 8,\ 8\)の三角形を反例として、偽となります。

最後に、
対偶「△ABCが二等辺三角形ではないならば、△ABCは正三角形ではない」
を考えます。

これは、もとの命題と真偽が一致します。

したがって、対偶の命題は真となります。

まとめると、

もとの命題:
「△ABCが正三角形ならば、△ABCは二等辺三角形である」真

逆:
「△ABCは二等辺三角形ならば、△ABCが正三角形である」偽
(反例:3辺の長さが4,8,8の三角形)

裏:
「△ABCが正三角形ではないならば、△ABCは二等辺三角形ではない」偽
(反例:3辺の長さが4,8,8の三角形)

対偶:
「△ABCが二等辺三角形ではないならば、△ABCは正三角形ではない」真

問題3

命題「\(x≠5\)ならば\(x^2≠25\)である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。

解説

今回のように、否定が多く含まれていて考えづらいときは、対偶から考えると考えやすくなります

まず、
対偶の命題「\(x^2=25\)ならば\(x=5\)である」を考えます。

\(x^2=25\)を解くと、\(x=±5\)となります。
したがって、反例として\(x=-5\)が考えられるため、偽となります。

次に、「\(x=5\)ならば\(x^2=25\)である」を考えます。
これは、明らかに真となります。

続いて、もとの命題を考えます。
もとの命題は対偶の命題と真偽が一致するため、反例を\(x=-5\)として、偽となります。

最後に、「\(x^2≠25\)ならば\(x≠5\)である」を考えます。
逆の命題は裏の命題と真偽が一致するため、逆の命題は真となります。

まとめると、

もとの命題:
「\(x≠5\)ならば\(x^2≠25\)である」偽(反例 \(x=-5\))
逆:「\(x^2≠25\)ならば\(x≠5\)である」 真
裏:「\(x=5\)ならば\(x^2=25\)である」 真
対偶:「\(x^2=25\)ならば\(x=5\)である」偽(反例\(x=-5\))

まとめ

今回は、逆・対偶・裏について解説しました。

対偶の関係をうまく使うと、考えやすくなる問題もたくさんあることがわかったと思います。

ぜひ、参考にしてみてくださいね。

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