【数学的帰納法】を工学博士がしっかり解説|例題から分かる帰納法の仕組みと使い方

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数学的帰納法について説明します。
具体的には、
  1. 数学的帰納法とは何か
  2. 数学的帰納法の仕組み
  3. 数学的帰納法の使い方
の3つになります。
数学的帰納法は名前からして難しい内容になります。しかし、「数学的帰納法とは何か、その仕組みと使い方」を順序良く学ぶことで絶対に理解できます!
工学博士
工学博士

1回習っただけだと難しかったかもしれませんが、この解説で絶対に理解できます。理解した後は練習問題をたくさん解くことで慣れていきましょう。この慣れるという作業がとても大切ですよ。がんばりましょう。

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数学的帰納法とは

数学的帰納法とは、ある式が全ての自然数で成り立つことを証明する方法です。
難しいですね。正直私も最初は「ん???」でした。1つずつ説明しましょう。
例えば、
nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れることを証明せよ。
という問題で、nが全ての自然数で成り立つことを証明できる方法になります。つまり、\(n^3+2n\)の\(n\)にどんな自然数が入ったとしても\(3\)で割り切れるぞ!ということを示さないといけません。
自然数自然数は1から始まる正の整数全てを指します。

$$1,\ 2,\ 3,\ \cdots$$

自然数全てを証明することは不可能です。自然数は無限個あるので、一生を捧げても証明できません。
では、どうするか・・・。数学的帰納法を使えば証明できてしまいます。
しかも、証明する事は2つだけでOKです。
では、なぜ2つだけの証明で全ての自然数で成り立つと言えるのか。その仕組みについて見ていきましょう。

数学的帰納法の仕組み

一言で語るのは難しいのですが、数学的帰納法は連鎖的に全ての自然数を証明するものになります。

先ほども話した通り、数学的帰納法は下記のたった2つのステップで証明できます。

数学的帰納法の2STEP

STEP1
n=1が成り立つことを証明する。
STEP2
n=kが成り立つと仮定したとき、n=k+1が成り立つことを証明する。
順番に説明します。
まずは、\(n=1\)が成り立つと証明します。これで\(n=1\)のとき成り立つと証明できます。(当たり前ですね。)これはイメージしやすいと思います。\(n\)に\(1\)を代入して計算すればOKで、STEP1は完了です。
次に\(n=k\)が成り立つと仮定したとき、\(n=k+1\)が成り立つことを証明します。これがイメージしにくいですよね。
簡単に言うと、\(n\)が何かしらの自然数\((k)\)で成り立つと仮定したとき、\(n=k+1\)でも成り立つことを確認するのです。
(やり方は後ほど詳しく説明します。安心してください。)
この2STEPを証明することで、以下のように連鎖的に全ての自然数が証明されます。
\(n=1\)を証明(STEP1)
\(n=1\)が成り立つなら\(n=2\)もok(ステップ2で\(k=1\))
\(n=2\)が成り立つなら\(n=3\)もok(ステップ2で\(k=2\))
\(n=3\)が成り立つなら\(n=4\)もok(ステップ2で\(k=3\))
n=kが成り立つと仮定したとき、n=k+1が成り立つことを証明しているので、\(n=k=1\)のとき\(n=k+1=2\)が成り立つことが分かります。すると連鎖的に\(k=2\)でもOK。\(k=3\)でもOKと、全ての自然数で成立していきます。
工学博士
工学博士

仕組みが分かったところで例題を解きながら使い方を理解していきましょう。仕組みはこの時点では50%程度の理解で大丈夫です。例題を通して仕組みの理解も深まるはずです。ここから先は黒い文字赤い文字を使いますが、黒い文字が解答、赤い文字が解説となります。

数学的帰納法の使い方

先ほどの例題を使って解説します。

例題
nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れることを証明せよ。
解答
数学的帰納法で証明する。
まずは何を使って証明するのか書きましょう。
(i)n=1のとき
$$1^3+2\times1=3$$
となり、3で割り切れる。
まずは\(n=1\)のときの証明をします。
(ii)n=kのとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れると仮定する。n=k+1のとき
ここでは\(k^3+2k\)が3で割り切れると仮定すると、\((k+1)^3+2(k+1)\)も3で割り切れることを証明します。
\begin{align}与式 &=(k+1)^3+2(k+1)\\&=k^3+3k^2+3k+1+2k+2\\&=k^3+2k+3(k^2+k+1)\end{align}
\(3(k^2+k+1)\)は\(3\)の倍数である。また仮定より、\(k^3+2k\)は3で割り切れるため、\(k^3+2k+3(k^2+k+1)\)は\(3\)で割り切れる。よって、\(n=k+1\)のときに\(n^3+2n\)は3で割り切れる。
以上(i)(ii)より、nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れる。
読むだけだと理解するのが精一杯で使いこなせるようにはなりません。使いこなせるようになるためには練習あるのみです。
それだけ数学的帰納法は難しいと思います。

まとめ(数学的帰納法)

まとめです。

POINT

  • 数学的帰納法は全ての自然数で成り立つことを証明する方法
  • STEPは2つあるよ
  • 使いこなすには練習あるのみ!!
著者情報
この記事を書いた人
Kota

福岡県出身。高専から大学へ三年次編入したのち、大学院で工学の修士号・博士号を取得。数学と物理のプロフェッショナル。専門は電気。共同研究のためアイルランドへ留学経験あり。留学前は英語力が絶望的だったため、独学で猛勉強。海外旅行に1人で行ける程度の英語力を身につける。趣味はバドミントン・ボードゲーム・料理。最近はパン作りと英語多読にハマり中。TwitterとInstagramでも情報発信やってます!

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