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【等比数列】一般項と等比数列の和の公式|公式の証明も解説

ここでは等比数列の一般項と和について解説していきます。等比数列とは何かを説明した後に、一般項と等比数列の和の証明を行いますよ!

等比数列とは

等比数列とは、一定の比を保っている数列のことです。
例えば、3、6、12、24、48なんかが等比数列です。
初項の3から順に2が掛けられていってます。

ある数aから順に一定の数rが掛けられていく数列を等比数列と言います。
等差数列の掛け算バージョンってことです!

例えば、上の数列で言えばある数aは3で、一定の数rは2となります。

文字を使って表すと
$$a, ar, ar^2, ar^3, \cdots, ar^n$$
のようになります。数字を入れるとこんな感じ。$$3, 3 \times 2, 3×2^2, \cdots, 3 \times 2^n$$

ここでaを初項rを公比と呼びます。

等比数列の一般項

では、等比数列の一般項を考えてみましょう。

初項a、公比rの等比数列の一般項
$$a_n=ar^{n-1}$$

さっきの例で見てみると、初項a=3、公比r=2だから一般項は
$$a_n=3*2^{n-1}$$
となります。

この式に証明は特にありません。
初項に公比rがどんどん掛けられていくからこの式になります。

注意点は初項の分を引いているから、第二項は\(ar\)
第三項は\(ar^2\)なるため、第n項は\(ar^{n-1}\)になります。

等比数列の和

次に等比数列の和について考えてみましょう。

等比数列の初項から第n項までの和を求めます。

POINT等比数列の和
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和\(S_n\)は
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\quad(r\neq1)$$
$$S_n=na\quad(r=1)$$

と、なります。rが1かそれ以外かで変わる点に注意しておきましょう!

等比数列の和の証明

初項\(a\)、公比\(r\)の等比数列の初項から第n項までの和\(Sn\)を求める。

\begin{eqnarray}
Sn &=& a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}\cdots(1) \\ \\
(1)\times rより\\\\
rSn&=&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+a^n\cdots(2)\\
(1)-(2)とすると、\\
\end{eqnarray}

ちなみに上の例、初項3、公比2の等比数列だと
$$S_n=\frac{3(1-2^n)}{-2}=\frac{3*2^n-3}{2}$$
になります。

今回は以上です!

公式は今の段階では暗記しなくて大丈夫です!
必要な時に引き出せるように準備して、ガンガン先に進みましょう!

今回は以上です!

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