【数列】一般項と等差数列の和の公式｜証明も！

今回は等差数列の一般項と和の公式です。

等差数列は物理や確率など多くの場面で使われるため、知っておくととっても便利ですよ。

ここでは最初に等差数列とは何かについて簡単に説明します。
その後に等差数列の一般項と和について解説していきます。
別記事ですが、等差数列の和の証明も解説していますよ。

九州大学工学博士で物理学者のトムソンが解説します！
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解説する内容

等差数列とは

まずは等差数列とは、何かの説明です。等差数列とは、一定の差を保っている数列のことです。
例えば、

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

なんかが等差数列です。
$2$から始まって、１つ右に行くと$4$ずつ増えていることが分かりますね。

この様に同じ差だけ積み重なって行く数列を等差数列と呼びます。

$$15,\ 12,\ 9,\ 6,\ 3\cdots$$

の様に減っていく数列も等差数列と呼びます。
今後の説明を簡単にするために、数学的用語も説明しますね。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

の場合、最初の$2$を初項と呼びます。1つ隣に行くと$4$増えていますね。この$4$を公差と呼びます。
初項を$a$、公差を$d$で表すことが多いです。
ちなみに上の数列を文章で書くと、

【初項$2$、公差$4$の等差数列】

と書くことができます。

$$2,\ 6(2+4),\ 10(6+4),\ 14(10+4)\cdots$$

ってことですね。これを文字で書くと下記のように書けます。

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ a+4d\cdots$$

では、等差数列の一般項を考えてみましょう。
一般項とは、ｎ番目の項（第ｎ項）をｎを使った式で表したものです。これだけでは分かりにくいと思うのでさっきの数列を使って具体例を見ていきましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

この時の第3項は$10$ですね。つまり$n=3$のときは$10$となります。
同様に$n=4$のときは$14$、$n=5$のときは$18$です。

一般項はこの様に、$n$に数字を代入するだけで、第n項の数字を求めることができる公式と言うイメージです。

初項ａ、公差ｄの等差数列の一般項
$$a_n=a+(n-1)d$$

さっきの例で見てみると、初項$a=2$、公差$d=4$だから一般項は
$$a_n=2+4(n-1)$$
となります。$n=4$で実際に計算してみましょう。

$$a_4=2+4(4-1)=2+12=14$$

となり、先ほど示した答えと一致しますね。

等差数列の式の証明は省略します。というのも見た目以上に中身が簡単だからです。
初項$a$に$d$がどんどん足されていく式になっていますね。ここで良くある質問を一つ紹介したいと思います。

Q: 第ｎ項なら$a+nd$になりそうな気がするけど・・・$n-1$になってるのはなぜですか？？
A: 初項の分を引いているから$n-1$となります。初項で$d$は足されませんよね。

さて、一般項が分かったところで等差数列の和について考えてみましょう。

等差数列の和とは、ある等差数列の初項から第$n$項までの合計のことであり、$S_n$で表すことが多いです。例えば、第$5$項までの和であれば$S_5$と書きます。また先ほど使用した等差数列を題材に$S_5$を考えて見ましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots\\S_5=2+6+10+14+18=50$$

等差数列の和の公式を見てみましょう。この式があれば、どんな等差数列でも和を求めることができますよ！

等差数列の和
初項ａ、公差ｄの等差数列の初項から第ｎ項までの和$S_n$を求めよ。
答え
$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a+(n-1)d}{2}$$
となります。

今回は以上となります。