【等差数列】一般項や等差数列の和の証明

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等差数列の基本を解説します。

等差数列は物理や確率など多くの場面で使われるため、頭の片隅にでも残しておくと便利です。

ここでは最初に等差数列とは何かについて簡単に説明します。その後に等差数列の一般項について解説していきます。別記事ですが、等差数列の和の証明も解説していますよ。

工学博士
工学博士

等差数列は数列の基礎ということもあり、簡単な部類です。絶対に理解できるし、理解できるように書きましたので、ぜひ読んでみてください。

<<等差数列の和の証明>>

【等差数列の和の証明】証明するときの注意点も含めて工学博士が解説!
等差数列の和の証明をしていきましょう!証明する公式はこちら。等差数列の初項(\(a_1\))から第n項(\(a_n\))までの和(\(S_n\))の公式!$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$$$S_n=\frac{...
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等差数列とは

まずは等差数列とは、何かの説明です。等差数列とは、一定の差を保っている数列のことです。
例えば、

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

なんかが等差数列です。
\(2\)から始まって、1つ右に行くと\(4\)ずつ増えていることが分かりますね。

この様に同じ差だけ積み重なって行く数列を等差数列と呼びます。

$$15,\ 12,\ 9,\ 6,\ 3\cdots$$

の様に減っていく数列も等差数列と呼びます。
今後の説明を簡単にするために、数学的用語も説明しますね。

等差数列の用語(初項と公差)

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

の場合、最初の\(2\)を初項と呼びます。1つ隣に行くと\(4\)増えていますね。この\(4\)を公差と呼びます。
初項を\(a\)、公差を\(d\)で表すことが多いです。
ちなみに上の数列を文章で書くと、

初項\(2\)、公差\(4\)の等差数列

と書くことができます。

$$2,\ 6(2+4),\ 10(6+4),\ 14(10+4)\cdots$$

ってことですね。これを文字で書くと下記のように書けます。

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ a+4d\cdots$$

工学博士
工学博士

初項と公差は理解できましたか?ここからは一般項と等差数列の和の解説に移ります。

等差数列の一般項

では、等差数列の一般項を考えてみましょう。
一般項とは、n番目の項(第n項)をnを使った式で表したものです。これだけでは分かりにくいと思うのでさっきの数列を使って具体例を見ていきましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

この時の第3項は\(10\)ですね。つまり\(n=3\)のときは\(10\)となります。
同様に\(n=4\)のときは\(14\)、\(n=5\)のときは\(18\)です。

一般項はこの様に、\(n\)に数字を代入するだけで、第n項の数字を求めることができる公式と言うイメージです。

初項a、公差dの等差数列の一般項
$$a_n=a+(n-1)d$$

さっきの例で見てみると、初項\(a=2\)、公差\(d=4\)だから一般項は
$$a_n=2+4(n-1)$$
となります。\(n=4\)で実際に計算してみましょう。

$$a_4=2+4(4-1)=2+12=14$$

となり、先ほど示した答えと一致しますね。

等差数列の一般項がこの式になる理由

等差数列の式の証明は省略します。というのも見た目以上に中身が簡単だからです。
初項\(a\)に\(d\)がどんどん足されていく式になっていますね。ここで良くある質問を一つ紹介したいと思います。

Q: 第n項なら\(a+nd\)になりそうな気がするけど・・・\(n-1\)になってるのはなぜですか??
A: 初項の分を引いているから\(n-1\)となります。初項で\(d\)は足されませんよね。

さて、一般項が分かったところで等差数列の和について考えてみましょう。

等差数列の和

等差数列の和とは、ある等差数列の初項から第\(n\)項までの合計のことであり、\(S_n\)で表すことが多いです。例えば、第\(5\)項までの和であれば\(S_5\)と書きます。また先ほど使用した等差数列を題材に\(S_5\)を考えて見ましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots\\S_5=2+6+10+14+18=50$$

等差数列の和の公式を見てみましょう。この式があれば、どんな等差数列でも和を求めることができますよ!

等差数列の和
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和\(S_n\)を求めよ。
答え
$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a+(n-1)d}{2}$$
となります。

エンジニア
エンジニア

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今回は以上となります。

工学博士
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等差数列が分かったら、次は等比数列に挑戦してみましょう。

【等比数列】一般項や等比数列の和の証明

著者情報
この記事を書いた人
Kota

福岡県出身。高専から大学へ三年次編入したのち、大学院で工学の修士号・博士号を取得。数学と物理のプロフェッショナル。専門は電気。共同研究のためアイルランドへ留学経験あり。留学前は英語力が絶望的だったため、独学で猛勉強。海外旅行に1人で行ける程度の英語力を身につける。趣味はバドミントン・ボードゲーム・料理。最近はパン作りと英語多読にハマり中。TwitterとInstagramでも情報発信やってます!

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