内積とは|ベクトルの内積の定義と使い方を解説

今回はベクトルを習うと必ず通る『内積』について解説していきます。

内積はイメージが難しく、ベクトルが苦手になる要因の1つです。

トムソン
トムソン

私もベクトルの内積は影をイメージして。。。という説明が理解できなかったのでベクトルが苦手になった記憶があります。

しかし、意外と簡単に理解できるのもベクトルです。

そこで、ベクトルの内積とは何か、どう使えるのか、具体的な問題は?などの疑問に答えていきます!

 この記事で分かること

  • 内積とは何か
  • 内積は何に使えるのか
  • 内積の問題を解くときのやり方
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内積とは|ベクトル内積の定義

ベクトルの内積の定義から説明します。

良く例えられるのが、「ベクトルの内積はベクトルの影」です。

しかしこの例えは、理解すれば何が言いたいか分かるけど、理解するまでは分からない。

という微妙なものです。

なので、図と式で見てみましょう

ベクトルの内積の定義は下記の式で表せます。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta$$

また、図から

$$\vec{A}=(a_{1},\ a_{2}),\ \vec{B}=(b_{1},\ b_{2})$$

とすると内積は余弦定理を用いることで、

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$$

と表すことができます。

 

ここは重要なのですが、

これらの式から分かるように、内積はスカラー量です!

ここはすごく重要で、ベクトルの内積を計算すると出てくるのはスカラー量であり、ベクトル量ではありません。

方向を持っていないということです。

トムソン
トムソン

ベクトル量とスカラー量の違いについては、別記事で詳細を解説しました。もし、ベクトルとスカラーの差がイマイチだった場合は、こちらの記事から読んでみてください。一気にベクトルを理解できるかもしれません。

では内積に戻ります。

じゃあこれが一体何なの?

という疑問にお答えします。

内積とは『仕事量』もしくは『貢献度』

内積とは『仕事量』や『貢献度』を表しています。

先ほどの図に戻りましょう。

内積とは

例えば今、\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)の交点に船が一隻あったとします。(∠\(\theta\)の頂点)

この時、本当は(\vec{A})の方向に進まなければいけないのに、風の影響で(\vec{B})の方向に動いてしまいました。

言い換えると\((a_{1},\ a_{2})\)に行きたいのに、\((b_{1},\ b_{2})\)に来てしまったイメージです。

この時、\((a_{1},\ a_{2})\)の方向にはどれくらい進みましたか?

という問いに答えるのが内積です。

トムソン
トムソン

\((a_{1},\ a_{2})\)に行きたかったけど、\((b_{1},\ b_{2})\)に来ちゃった!でも、\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\)だけは((a_{1},\ a_{2}))の方向にも進んだよね!って感じです。

内積の計算方法

では具体的な内積の計算方法を確認していきましょう。

式はどちらを用いても構いません。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\tag{1}$$

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta\tag{2}$$

(1)式で解いてみましょう。

$$\vec{ A }\cdot\vec{B}=4×1+2×3=10$$

となります。(2)でも解いてみましょうー!

$$|A|=\sqrt{20}=2\sqrt{5},\ |B|=\sqrt{10}$$

です。絶対値は三平方の定理より求めることが可能です。

$$cos45^{ \circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

なので、(2)式に代入すると・・・

$$\begin{align}
\vec{A}\cdot\vec{B} &= |A||B|cos\theta \\
&= 2\sqrt{5}×\sqrt{10}×\frac{1}{\sqrt{2}} \\
&= 10
\end{align}$$

と言うわけで、内積を求めることはできるようになったでしょう!

ベクトルの内積を求めるコツ

ここで、求めるコツを紹介しますね。

式が2種類ありますので、どちらを使うべきか考えます。\(\theta\)がわかっている場合はほとんど式(2)です。

逆に\(\theta\)がわかっていない場合は(1)式となります。

それでは、ベクトルの内積をどうやって活用するかを考えていきましょう!

ベクトルの内積の活用方法

先ほどの図をもう一度使って考えます。

ただし、\(theta=?\)になっていますね。2つのベクトルがなす角が分からないけれど、内積は分かる。って状況です。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=10$$

はさっき求めましたよね。すると以下の式が成り立ちます。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=|A||B|cos\theta=10$$

$$|A||B|=10\sqrt{2}$$

ですので、\(cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)となります。

$$\text{∴}\theta=45^{ \circ }$$

となるわけです!ベクトルから角度が分かるようになるのです。

内積の公式と計算法則

最後にベクトルの内積の計算法則を紹介します。これを知っているかどうかで応用の幅が大きく変わります!

内積は交換できる

ベクトルの内積は交換が可能です。

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot\vec{B}$$

まあイメージ通りですかね。

内積は倍にできる

ベクトルの内積は定数kをかけることもできますよ!

$$k\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot k\vec{B}$$

もちろん\(k(\vec{A}\cdot\vec{B})\)なんて事もできます。

内積は分配もできる

分配もできます。

$$\vec{A}\cdot (\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$$

って感じですね。

ベクトル内積のまとめ

以上をまとめましょう!

  • 内積とは仕事量・貢献度を表すスカラー量である
  • 計算方法は2つある
  • 2つのベクトルがなす角を求めることが可能
トムソン
トムソン

内積は意味と計算方法、そして計算結果がスカラー量である、という3つのポイントを抑えれば理解が早まります!

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