【簡単】球の体積の求め方|公式の覚え方と問題も紹介

今回は球の体積の求め方です!

体積を求めるための公式と覚え方を解説します。
実力がつく練習問題もあるので、ぜひ最後まで読んでください!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
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球の体積の求め方

球の体積の求め方

球の体積は半径を\(r\)とすると、 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)で求められます。

この公式の証明方法は、中学では学習しません。
高校の数学IIIの積分という分野で学習します。
証明はしませんが、この公式は重要ですので、次の語呂合わせで覚えてください。

公式を覚える語呂合わせ

ここでは下記2つの公式を覚える語呂合わせを紹介しましょう!
あなたの気に入った方の語呂合わせで覚えてOKです。

  1. 身の上に心配ある3年生
  2. 身の上に心配ある参上

身の上に心配ある3年生

語呂合わせは、「身の上に心配ある3年生」です。\(\displaystyle\frac{4(上にある心)}{3(身の)}\ \ \ \pi(配)r(ある)^{3(3年生)}\) という形になります。 

身の上に心配ある参上

他には、「身の上に心配ある、参上」というのもあります。\(\displaystyle\frac{4(上にある心)}{3(身の)}\ \ \ \pi(配) r(ある)、^{3(参上)}\) となります。

球の体積を求める問題

では練習に2問、球体の体積をもとめてみましょう。

球体の体積を半径から求める

【問題】半径3cmの球の体積を求めなさい。

球の体積の問題

【解答】113.04 cm^3

では解説です。

球体の体積を求める解説

公式の\(r\)に半径\(3cm\)を代入して、

\begin{eqnarray}
&\qquad& \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \\
\qquad &=&\displaystyle\frac{4}{3}\times3.14\times3^3 \\
\qquad &=&\displaystyle\frac{4}{3}\times3.14\times27 \\ \qquad &=&\displaystyle\frac{4\times3.14\times27}{3} \\ \qquad &=&113.04 cm^3 \end{eqnarray}

もちろん\(\pi=3.14\)とせずに、\(36\pi\)としても正解です。

回転体の体積を求める問題

次に、回転体の体積を求めてみます。

球の回転体の体積の問題

一辺が5cmの正方形と、その上に半径が5cmで中心角が90度の扇形があります。
正方形の一辺と扇形の一方の半径は一致しています。
正方形の他の一辺と扇形の他方の半径は、一直線上にあります。
この一直線を軸として、正方形と扇形を360度回転したときに出来る立体の体積を求めなさい。

扇形を回転してできる立体は半球、正方形を回転してできる立体は円柱になります。
先ず、半球の体積を求めます。公式に半径を代入して、

\begin{eqnarray}
&\qquad& \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\times\frac{1}{2} \\
\qquad &=&\displaystyle\frac{4}{3}\times3.14\times5^3\times\frac{1}{2} \\
\qquad &=&\displaystyle\frac{4}{3}\times3.14\times125\times\frac{1}{2} \\
\qquad &=&\displaystyle\frac{4}{6}\times3.14\times125 \end{eqnarray}

掛け算や割り算は、円柱の体積を足した後に行った方が楽なので、このままの式にしておいてください。

次に、円柱の体積を求めます。半径は5cm、高さは5cmなので、

\begin{eqnarray} &\qquad& \pi 5^2\times5 \\ \qquad &=&3.14\times25\times5 \\ \qquad &=&3.14\times125 \end{eqnarray}

最後に、半球の体積と円柱の体積を足します。

\begin{eqnarray} \qquad &=&\displaystyle\frac{4}{6}\times3.14\times125+3.14\times125 \\ \qquad &=&\left(\displaystyle\frac{4}{6}+1\right)\times3.14\times125\\ \qquad &=&\displaystyle\frac{10}{6}\times3.14\times125\\ \qquad &=&654.17cm^3 \end{eqnarray}

 

まとめ

球の体積は \(\displaystyle\frac{4}{3}\times \pi \times r^3\)で求められます。

呂合わせ「身の上に心配ある3年生」、または「身の上に心配ある、参上」で覚えましょう。

回転体の体積は、回転体がどの様な立体になるのか考えて、計算します。

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