【3分で理解】三平方の定理(ピタゴラスの定理)とその証明を完全解説!

三平方の定理

直角三角形において、斜辺(一番長い辺)を\(c\)、

その他の辺を\(a,\ b\)とすると下記の式が成り立つ

$$a^2+b^2=c^2$$

三平方の定理は直角三角形を理解する上で非常に重要な定理です。今回はこの三平方の定理の証明していきたいと思います。

この三平方の定理は別名「ピタゴラスの定理」とも言います。この記事では、三平方の定理で統一して説明していきます。

とっても有名な三平方の定理ですが、その証明を知ってる人は少ないのではないでしょうか!

てな訳で、誰でも簡単にできる三平方の定理の証明をしていきたいと思います。

※この記事を読めば、誰でも3分で三平方の定理を理解でき、証明までできるようになります。

三平方の定理とは

まずは三平方の定理をおさらいしましょう!

三平方の定理とは、「直角三角形の斜辺の2乗は、その他の2辺の2乗の和に等しい」というものです。

では、図を見てみましょう。

何となくイメージできましたか?有名かつ良く使う公式なので、しっかり覚えましょう!

三平方の定理の証明

三平方の定理の証明って、やろうと思えば150種類ぐらいあります。

今回は理解・証明がしやすい、代表的な証明を選びました!

では、さっき出てきた三角形をもう一度見てみましょう。

直角三角形なので、これを向きを変えて4つ並べると正方形ができます。こんな感じ!↓

では、この正方形の面積を2つの方法で求めることで証明しましょう。

証明する式は、

$$a^2+b^2=c^2$$

です!

面積の求め方1|大きな正方形

この一番大きな正方形は1辺の長さが(a+b)です。

よって、面積は

$$面積=(a+b)^2\\=a^2+2ab+b^2$$となります!

面積の求め方2|三角形×4+正方形

次に三角形4個と、正方形1個として見ましょう。

すると、下の図のような面積となります。

三角形の面積は「\(底辺\times 高さ\div2\)」であり、この三角形が4つあるので

$$\frac{1}{2}ab\times4=2ab$$

そして1辺の長さが\(c\)の正方形の面積は\(c^2\)となります。

つまり面積の合計は、

$$2ab+c^2$$

となるわけなのです!

三平方の定理の証明だ!

この2つの面積は同じはずですよね!なのでこれらをイコール【=】で結びます。

$$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab

つまり、

$$a^2+b^2=c^2$$

です!

お!簡単に証明完了しましたね。お疲れ様でした!

本記事は以上です。質問がありましたら、お問い合わせもしくはコメントをお待ちしております!

コメント

  1. メグ より:

    こんにちは。子供に迫られ全く分からなくて、検索してたどり着きました。
    図があり、すごくわかりやすかったです!!!ありがとうございました(^^♪