直線の方程式の求め方と公式

今回のテーマは直線の方程式です。

図形と方程式の単元では基本中の基本のテクニックになりますので、必ず理解して最後にある練習問題も解けるようにしたいですね。

中学数学で習った一次関数の「切片」や「傾き」も思い出しながら進めていきましょう。

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
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直線の方程式

中学数学でも直線の式は習いましたね。
それとは別で高校数学範囲での直線の方程式が存在します。

方程式の場合は傾きと切片がわかっていない場合でも点の座標などがわかっていれば、数式に表すことができます。
今までより応用範囲の広いものを学習するというイメージを持てれば十分です。

y=mx+n, y=pの式 の特徴

まずは中学数学の復習をしましょう。
直線の式といえば\(y=mx+n\)ですね。
\(m\)のことを傾き(または変化の割合)、\(n\)のことを切片と言っていました。

それぞれ用語を確認してみましょう。

傾き(変化の割合):xの増加量に対するyの増加量
切片:直線とy軸との交点のy座標

傾きが0のときは\(x\)の係数が\(0\)なので\(y=n\)という形だけが残ります。
このときは、\(x\)が変化しても\(y\)は変化しないということなので\(x\)軸に平行な直線を表しています。

 一般系(ax+by+c)の式の特徴

先ほどまでの式ではy軸に平行な直線を表せていません。そこでどんな直線でも表せるように以下の一般形と言われる式があります。

直線の方程式の一般形

\(ax+by+c=0\) ただし、\(a,b,cは定数でa≠0またはb≠0\)

この式は\(a=0\)のときにx軸に平行な直線、\(b=0\)のときにy軸に平行な直線を表しています。
一般形の場合は定数\(a\)は傾きではないので注意が必要です。

さらに\(a=b=0\)になることもあり得ませんので問題を解くときは注意しましょう。

直線の方程式の求め方

直線の方程式の一般形には定数として文字が\(a,b,c\)の3種類あります。
なので、方程式を求めるためには普通に考えると3点の座標がわかっていることが最低条件になります。

しかし、普通の方程式ではなく直線の方程式であることを利用すると、2点分かれば求めることが可能であり、求め方は下記の3つになります。。

  1. 直線の方程式(傾きと1点の座標から)
  2. 直線の方程式(2点の座標から)
  3. 軸に垂直な直線の方程式

問題の与えられ方によってどのパターンで解いていくべきか判断していきましょう。

求め方1|直線の方程式(傾きと1点の座標から)

まず、傾きと1点の座標がわかっているときです。
活用すると簡単な公式があるので紹介します。

ちなみにこの求め方の問題が最も出題頻度が高いです。

公式:点\((x,y)\)を通り、傾きがmの直線の方程式は\(y-b=m(x-a)\)

それぞれの文字に数字を代入していくだけで求められるので簡単です。

ただ、\(b\)を移項して\(y=m(x-a)+b\)の形で覚えた方が実用性もありすぐに直線を描くことが出来るのでおすすめです。

求め方2|直線の方程式(2点の座標から)

次に、2点の座標がわかっているときです。

単純に連立方程式を立てても文字が3個に対して式が2本なのでこのままでは解けません。
なので直線であることを利用します。

2点の座標の情報から傾きを求め、先ほど紹介した求め方1に寄せていくイメージです。

こちらも公式があります。

公式:異なる2点\((a,b),\ (c,d)\)を通る直線の方程式は下記の通りです。

$$y-b=\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)$$

こちらもbを移項してしまって、

$$y=\displaystyle \frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$$

を覚えておいた方が実用性が高いです。

ここで求め方1の公式と見比べてみてください。
違いは求め方1の傾きmが求め方2では分数部分になっていますね。
さらにこの分数部分をよく見ると\(c-a\)は\(x\)の増加量、\(d-b\)は\(y\)の増加量なので変化の割合、つまり傾きを表しています。

なので本質的には求め方1と似ているところがありますね。

ちなみに\(a=c\)のときは\(y\)軸に平行な直線になるので、\(x=a\)になります。

 求め方3|軸に垂直な直線の方程式

最後に少し特殊な場合ですが、軸に垂直な直線をみてみましょう。

まず\(x\)軸に垂直な場合は\(y\)軸に平行ということになるので、\(x=k\)の形です。

この\(k\)には与えられた\(x\)座標が入ります。
次に\(y\)軸に垂直な場合は\(x\)軸に平行ということになります。

つまり、傾き\(=0\)なので\(y=k\)の形です。同じく、この\(k\)には与えられた\(y\)座標が入ります。まとめると、

公式:\((k,a)\)を通り、\(x\)軸に垂直な直線は\(x=k\)
         \((a,k)\)を通り、\(y\)軸に垂直な直線は\(y=k\)

です。
これは実際にグラフを描いてみるとより覚えやすいですよ。

練習問題3問

では、実際に公式を活用する問題を解いてみましょう。

問題

次の直線の方程式を求めよ。

⑴(2,3)を通り、傾きが4の直線

⑵(1,2)、(3,5)を通る直線

⑶(-1,2)を通るx軸に垂直な直線

解答

⑴公式に数字を代入して、\(y=4(x-2)+3\)

整理して、\(y=4x-5\)

⑵公式に数字を代入して、
\(y=\displaystyle \frac{5-2}{3-1}(x-1)+2\)

整理して、\(y=\displaystyle \frac{3}{2}x+\displaystyle \frac{1}{2}\)

⑶公式に数字を代入して、x=-1

まとめ

直線の方程式を求めるときに意識するべきことは「どうやって傾きを導けるか」ということです。

傾きがわかれば最も基本的な求め方1に絞れますから、2点から傾きを導いたり問題文から探してみてくださいね。

参考動画

最後に直線の方程式について、わかりやすい動画がYouTubeにありましたので紹介いたします。
簡潔にまとめられており、とても参考になると思います。

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